Mathematicsحساب التفاضل والتكاملA-Level
CBSEGCE A-LevelWJECAbiturAPAQABaccalauréat GénéralBachillerato

التكامل بالتعويض

قاعدة السلسلة العكسية للتكامل.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

التكامل بالتعويض هو طريقة رسمية في التفاضل والتكامل تستخدم لتبسيط تكامل الدوال المركبة عن طريق تغيير متغير التكامل. وهو بمثابة مكافئ تكاملي لقاعدة السلسلة، حيث يحول تكاملًا معقدًا إلى شكل أبسط يمكن التعرف فيه على المشتقة العكسية بسهولة أكبر. من خلال تحديد دالة ومشتقها داخل التكامل، يتم تحويل المتغير إلى u، مما يبسط عملية الحساب.

When to use: طبق هذه الطريقة عندما يحتوي التكامل على دالة ومشتقها، عادةً في شكل دالة مركبة. وهي مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع قوى كثيرات الحدود، أو المتطابقات المثلثية، أو المصطلحات الأسية حيث يكون الأس غير خطي.

Why it matters: هذه التقنية ضرورية لحل المعادلات التفاضلية المعقدة الموجودة في الفيزياء، مثل تلك التي تحكم حركة الكواكب أو الكهرومغناطيسية. إنها تسمح للعلماء بحل التكاملات التي كان من المستحيل تقييمها بطريقة أخرى، مما يوفر جسرًا بين التمثيلات الرمزية والحلول العددية.

Symbols

Variables

k = Coefficient k, n = Power n, a = Lower limit a, b = Upper limit b, I = Integral result

Coefficient k
Variable
Power n
Variable
Lower limit a
Variable
Upper limit b
Variable
Integral result
Variable

Walkthrough

Derivation

فهم التكامل بالتعويض

يُعكس التعويض قاعدة السلسلة عن طريق تغيير المتغيرات لتحويل تكامل معقد إلى تكامل أبسط.

  • المكامل يحتوي على دالة مركبة ومشتقاتها (حتى مضاعف ثابت).
1

تحديد التعويض:

اختر u كدالة داخلية تظهر مشتقتها أيضًا في المكامل.

2

الاشتقاق لربط du و dx:

يسمح لك هذا باستبدال بـ du.

3

إعادة كتابة التكامل بدلالة u:

بعد التعويض، قم بالتكامل بالنسبة لـ u، ثم قم بالتحويل مرة أخرى إلى x إذا لزم الأمر.

Result

Source: Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Integration)

Why it behaves this way

Intuition

تخيل تمديد أو ضغط المحور السيني لتحويل مساحة معقدة تحت منحنى إلى شكل أبسط وأكثر وضوحًا يسهل حساب مساحته.

Term
متغير جديد يمثل الدالة الداخلية g(x)
إعادة تسمية جزء معقد من المكامل بمتغير أبسط لجعل التعبير أسهل في التعامل معه
Term
تفاضل المتغير الجديد u، الذي يحل محل g'(x) dx
عامل 'القياس' الذي يفسر التغيير في متغير التكامل، مشتق من العلاقة du/dx = g'(x)
Term
الدالة الداخلية ضمن الدالة المركبة f(g(x))
الجزء المحدد من المكامل الذي تم اختياره ليتم استبداله بالمتغير الجديد u، مما يبسط 'جوهر' التعبير
Term
مشتقة الدالة الداخلية g(x)
العامل الضروري في المكامل الذي يسمح بالتعويض du = g'(x) dx، ويعمل كـ 'قطعة مطابقة' لتحويل التفاضل

Free study cues

Insight

Canonical usage

تضمن هذه الطريقة أن تظل وحدات التعبير المكامل متسقة عبر تحويل المتغير، مع الحفاظ على التجانس البعدي.

Dimension note

بينما تصف المعادلة نفسها تحولًا رياضيًا، يمكن للمتغيرات والدوال المتضمنة أن تحمل وحدات فيزيائية. المبدأ الأساسي هو أن أبعاد التكاملية على جانبي المعادلة

One free problem

Practice Problem

احسب التكامل المحدد لـ 2x(x² + 1)² dx من x = 0 إلى x = 1.

Hint: عوض u = x² + 1.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق تحويل الإحداثيات، تُستخدم معادلة التكامل بالتعويض لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

  • حدد الدالة 'الداخلية' التي توجد مشتقتها في مكان آخر في التكامل.
  • احسب دائمًا التفاضل du وحل لـ dx إذا لزم الأمر.
  • تذكر تحويل الحدود العليا والدنيا للتكامل عند التعامل مع التكاملات المحددة.
  • بسط التعبير الناتج بدلالة u قبل إجراء التكامل النهائي.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • عدم استبدال dx بـ du.
  • ترك x في تكامل u.

Common questions

Frequently Asked Questions

يُعكس التعويض قاعدة السلسلة عن طريق تغيير المتغيرات لتحويل تكامل معقد إلى تكامل أبسط.

طبق هذه الطريقة عندما يحتوي التكامل على دالة ومشتقها، عادةً في شكل دالة مركبة. وهي مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع قوى كثيرات الحدود، أو المتطابقات المثلثية، أو المصطلحات الأسية حيث يكون الأس غير خطي.

هذه التقنية ضرورية لحل المعادلات التفاضلية المعقدة الموجودة في الفيزياء، مثل تلك التي تحكم حركة الكواكب أو الكهرومغناطيسية. إنها تسمح للعلماء بحل التكاملات التي كان من المستحيل تقييمها بطريقة أخرى، مما يوفر جسرًا بين التمثيلات الرمزية والحلول العددية.

عدم استبدال dx بـ du. ترك x في تكامل u.

في سياق تحويل الإحداثيات، تُستخدم معادلة التكامل بالتعويض لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

حدد الدالة 'الداخلية' التي توجد مشتقتها في مكان آخر في التكامل. احسب دائمًا التفاضل du وحل لـ dx إذا لزم الأمر. تذكر تحويل الحدود العليا والدنيا للتكامل عند التعامل مع التكاملات المحددة. بسط التعبير الناتج بدلالة u قبل إجراء التكامل النهائي.

References

Sources

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
  2. Wikipedia: Integration by substitution
  3. Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
  4. University Physics with Modern Physics, 15th Edition by Young and Freedman
  5. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
  6. Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics (Integration)