قاعدة السلسلة

Core idea

Overview

قاعدة السلسلة هي صيغة أساسية في حساب التفاضل والتكامل تستخدم لإيجاد مشتقة دالة مركبة. إنها تؤكد أن مشتقة الدالة المتداخلة هي حاصل ضرب مشتقة الدالة الخارجية ومشتقة الدالة الداخلية.

When to use: طبق هذه القاعدة عندما تحتاج إلى تفاضل دالة تتكون من دوال أخرى، غالبًا ما توصف بأنها دالة داخل دالة. وهي ضرورية للتعبيرات التي تتضمن قوى كثيرات الحدود، أو الدوال المثلثية ذات المعاملات المعقدة، أو الدوال الأسية حيث يكون الأس دالة أخرى.

Why it matters: هذه القاعدة هي أساس العديد من المفاهيم الرياضية المتقدمة، بما في ذلك خوارزمية الانتشار العكسي المستخدمة لتدريب الشبكات العصبية في الذكاء الاصطناعي. في الفيزياء والهندسة، تسمح بتحليل المعدلات المرتبطة، مثل كيفية تغير حجم الكرة بمرور الوقت مع توسع نصف قطرها.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Total Derivative, $\frac{d y}{d u}$ = Outer Derivative, $\frac{d u}{d x}$ = Inner Derivative

\frac{d y}{d x}

Total Derivative

Variable

\frac{d y}{d u}

Outer Derivative

Variable

\frac{d u}{d x}

Inner Derivative

Variable

Walkthrough

Derivation

فهم قاعدة السلسلة

تقوم قاعدة السلسلة بتمييز دالة مركبة عن طريق ضرب مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.

y تعتمد على u و u تعتمد على x.
كلتا الدالتين قابلتان للاشتقاق.

1

تقديم متغير داخلي:

تمثيل الدالة الداخلية كـ u لفصل الدالة المركبة إلى خطوتين.

y = f (g (x)), let u = g (x) ⟹ y = f (u)

2

بيان قاعدة السلسلة:

اشتقاق الدالة الخارجية بالنسبة لـ u، ثم الضرب في مشتقة u بالنسبة لـ x.

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Note: حدس مفيد هو أن التغيرات في x تؤثر على u، والتي بدورها تؤثر على y، لذا فإن المعدل الإجمالي يتضاعف.

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{d y}{d u}$

اجعل dydu موضوع المعادلة

d y d u = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

أعد ترتيب المعادلة لجعل dydu موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

اجعل dudx موضوع المعادلة

d u d x = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d u}}

أعد ترتيب المعادلة لجعل dudx موضوع المعادلة.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل سلسلة من الأحداث حيث يؤدي تغيير طفيف في 'x' أولاً إلى تغيير مقياس في 'u'، ثم يؤدي هذا التغيير في 'u' إلى تغيير مقياس آخر في 'y'؛ إجمالي التغيير في 'y' بالنسبة إلى 'x' هو نتاج تلك الحساسيات المحلية.

Term

المعدل اللحظي الذي يتغير به متغير الإخراج 'y' فيما يتعلق بالتغيير في المتغير المستقل 'x'.

مدى حساسية "y" للتغيرات في 'x' مباشرة، مما يمثل المعدل الإجمالي للتغيير.

Term

المعدل اللحظي الذي يتغير به مخرج الوظيفة الخارجية "y" فيما يتعلق بالتغيير في مدخلاتها المباشرة 'u'.

مدى حساسية "الطبقة الخارجية" للوظيفة للتغيرات في ما تستقبله مباشرة كمدخلات.

Term

المعدل اللحظي الذي يتغير عنده مخرج الدالة الوسيطة 'u' فيما يتعلق بالتغيير في مدخلاتها "x".

ما مدى حساسية "الطبقة الداخلية" للوظيفة للتغيرات في مدخلاتها "x".

Free study cues

Insight

Canonical usage

يُستخدم لضمان الاتساق البُعدي عند حساب مشتقات الدوال المركبة، حيث يجب أن تكون وحدات مشتقة الدالة الخارجية مضروبة في وحدات مشتقة الدالة الداخلية

One free problem

Practice Problem

في تمرين حسابي يتضمن دالة مركبة، تحدد أن مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة لمتغيرها الداخلي هي 5، ومشتقة هذا المتغير الداخلي بالنسبة لـ x هي 4. احسب المشتقة الكلية dy/dx.

Hint: تنص قاعدة السلسلة على أن المشتقة الكلية هي حاصل ضرب المشتقات الخارجية والداخلية.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق معدل التفاعل يعتمد على درجة الحرارة التي تعتمد على الوقت، تُستخدم معادلة قاعدة السلسلة لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

حدد الدالة 'الداخلية' (u) و 'الخارجية' (y) بوضوح قبل البدء.
فاضل الطبقة الخارجية مع الحفاظ على الطبقة الداخلية دون تغيير، ثم اضرب في المشتقة الداخلية.
اعمل بشكل منهجي من الطبقة الخارجية إلى الطبقة الداخلية في المركبات المتداخلة.

Avoid these traps

Common Mistakes

نسيان المشتقة الداخلية.
الجمع بدلاً من الضرب.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

تقوم قاعدة السلسلة بتمييز دالة مركبة عن طريق ضرب مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.

طبق هذه القاعدة عندما تحتاج إلى تفاضل دالة تتكون من دوال أخرى، غالبًا ما توصف بأنها دالة داخل دالة. وهي ضرورية للتعبيرات التي تتضمن قوى كثيرات الحدود، أو الدوال المثلثية ذات المعاملات المعقدة، أو الدوال الأسية حيث يكون الأس دالة أخرى.

هذه القاعدة هي أساس العديد من المفاهيم الرياضية المتقدمة، بما في ذلك خوارزمية الانتشار العكسي المستخدمة لتدريب الشبكات العصبية في الذكاء الاصطناعي. في الفيزياء والهندسة، تسمح بتحليل المعدلات المرتبطة، مثل كيفية تغير حجم الكرة بمرور الوقت مع توسع نصف قطرها.

نسيان المشتقة الداخلية. الجمع بدلاً من الضرب.

في سياق معدل التفاعل يعتمد على درجة الحرارة التي تعتمد على الوقت، تُستخدم معادلة قاعدة السلسلة لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

حدد الدالة 'الداخلية' (u) و 'الخارجية' (y) بوضوح قبل البدء. فاضل الطبقة الخارجية مع الحفاظ على الطبقة الداخلية دون تغيير، ثم اضرب في المشتقة الداخلية. اعمل بشكل منهجي من الطبقة الخارجية إلى الطبقة الداخلية في المركبات المتداخلة.

References

Sources

Wikipedia: Chain rule
Calculus (8th ed.) by James Stewart
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Thomas' Calculus, 14th Edition, George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass
Calculus, 8th Edition, James Stewart
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

تقديم متغير داخلي:

بيان قاعدة السلسلة:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integration by Substitution

Frequently Asked Questions

Sources