الضرب النقطي (الضرب القياسي)

Core idea

Overview

هندسيًا، يربط الضرب النقطي بين مقادير متجهين وجيب تمام الزاوية بينهما. جبريًا، هو مجموع حاصل ضرب المدخلات المقابلة للتسلسلين العدديين. وهي عملية أساسية في الفضاءات المتجهية، تشكل الأساس لتحديد التعامد وإسقاطات المتجهات.

When to use: استخدم الضرب النقطي عندما تحتاج إلى تحديد الزاوية بين متجهين، أو التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين (متعامدين)، أو حساب الشغل المبذول بواسطة متجه قوة يعمل على إزاحة.

Why it matters: الضرب النقطي ضروري في الفيزياء لحسابات الطاقة، وفي رسومات الكمبيوتر لخوارزميات الإضاءة والتظليل، وفي التعلم الآلي لقياس التشابه بين نقاط البيانات.

Symbols

Variables

a $\cdot$ b = Dot Product, $a_{1}$ = Vector A component 1, $a_{2}$ = Vector A component 2, $b_{1}$ = Vector B component 1, $b_{2}$ = Vector B component 2

a \cdot b

Dot Product

Variable

a_{1}

Vector A component 1

Variable

a_{2}

Vector A component 2

Variable

b_{1}

Vector B component 1

Variable

b_{2}

Vector B component 2

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق حاصل الضرب النقطي (الضرب القياسي)

يستخدم هذا الاشتقاق قانون جيب التمام لربط التعريف الهندسي للمتجهات كمقادير وزوايا بتمثيلها الجبري في مكونات كارتيزية.

تُعرَّف المتجهات في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد.
المتجهات غير صفرية للسماح بزاوية محددة بينهما.

1

قانون جيب التمام على مثلث متجهي

ننظر في مثلث مكون من المتجهين a و b والمتجه الفرق (b - a). يربط قانون جيب التمام أطوال أضلاع هذا المثلث بالزاوية ثيتا بين a و b.

∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Note: تذكر أن الزاوية ثيتا يجب وضعها بين ذيلي المتجهين.

2

التوسع الجبري للمقدار

توسيع مقدار مربع المتجه (b - a) باستخدام نظرية فيثاغورس في مكونات الإحداثيات.

∣ b - a ∣^{2} = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}

Note: توسيع هذا ينتج $a_{1}^{2}$ + $b_{1}^{2}$ - 2a_1b_1 + ... إلخ.

3

المعادلة والتبسيط

بمساواة التعبيرين لـ |b - a|^2، نطرح |a|^2 و |b|^2 من كلا الجانبين.

∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Note: هذا الإلغاء الجبري يعزل العلاقة بين المكونات والتعريف المثلثي.

4

الهوية النهائية

بالقسمة على -2 يترك التعريف القياسي لحاصل الضرب النقطي، مما يوضح أن مجموع حاصل ضرب المكونات المتناظرة يساوي حاصل ضرب المقدار في جيب التمام.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Note: يثبت هذا أن حاصل الضرب النقطي ثابت تحت دوران نظام الإحداثيات.

Result

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل مصباحًا يدويًا (المتجه b) يضيء على سطح (المتجه a). حاصل الضرب النقطي هو طول 'ظل' المتجه a الذي يسقطه المتجه b، مقياسًا بمقدار مصدر الضوء. إذا كانا يشيران في نفس الاتجاه، فإن الظل يكون أقصى؛ إذا كانا متعامدين، فإن الظل يختفي.

Term

حاصل الضرب النقطي

مقياس لمدى 'اتفاق' أو توافق متجهين مع بعضهما.

Term

حاصل ضرب المقدار

القوة 'الخام' لكلا المتجهين إذا كانا محاذيين تمامًا.

Term

عامل المحاذاة

نسبة مئوية (من -1 إلى 1) تمثل مقدار ما يساهم به المتجه b فعليًا في اتجاه المتجه a.

Term

حاصل ضرب المكونات

المنهج الجبري: جمع حاصل ضرب الأبعاد المتناظرة لرؤية كيف تتفاعل في فضاء الإحداثيات.

Signs and relationships

النتيجة الإيجابية: المتجهات تشير عمومًا في نفس الاتجاه (زاوية < 90°).
النتيجة صفر: المتجهات متعامدة (عمودية)؛ ليس لديها توافق مشترك.
النتيجة السلبية: المتجهات تشير عمومًا في اتجاهين متعاكسين (زاوية > 90°).

One free problem

Practice Problem

احسب الضرب النقطي للمتجه a = [3, 2] والمتجه b = [1, 4].

Hint: اضرب المكونات المتناظرة (3*1) و (2*4)، ثم اجمع النتائج معًا.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في محركات الألعاب ثلاثية الأبعاد، يستخدم المطورون الضرب النقطي لتحديد ما إذا كان كائن ما ضمن مجال رؤية الكاميرا عن طريق مقارنة متجه اتجاه الكاميرا بالمتجه الذي يشير إلى الكائن.

Study smarter

Tips

إذا كان الضرب النقطي صفرًا، فإن المتجهين متعامدان (الزاوية 90 درجة).
الضرب النقطي للمتجه بنفسه هو مربع مقداره: a · a = |a|^2.
الضرب النقطي تبادلي، مما يعني أن a · b = b · a.

Avoid these traps

Common Mistakes

الخلط بين الضرب النقطي والضرب الاتجاهي، الذي ينتج متجهًا بدلاً من قياسي.
نسيان أن نتيجة الضرب النقطي هي قيمة قياسية، وليست متجهًا.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يستخدم هذا الاشتقاق قانون جيب التمام لربط التعريف الهندسي للمتجهات كمقادير وزوايا بتمثيلها الجبري في مكونات كارتيزية.

استخدم الضرب النقطي عندما تحتاج إلى تحديد الزاوية بين متجهين، أو التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين (متعامدين)، أو حساب الشغل المبذول بواسطة متجه قوة يعمل على إزاحة.

الضرب النقطي ضروري في الفيزياء لحسابات الطاقة، وفي رسومات الكمبيوتر لخوارزميات الإضاءة والتظليل، وفي التعلم الآلي لقياس التشابه بين نقاط البيانات.

الخلط بين الضرب النقطي والضرب الاتجاهي، الذي ينتج متجهًا بدلاً من قياسي. نسيان أن نتيجة الضرب النقطي هي قيمة قياسية، وليست متجهًا.

في محركات الألعاب ثلاثية الأبعاد، يستخدم المطورون الضرب النقطي لتحديد ما إذا كان كائن ما ضمن مجال رؤية الكاميرا عن طريق مقارنة متجه اتجاه الكاميرا بالمتجه الذي يشير إلى الكائن.

إذا كان الضرب النقطي صفرًا، فإن المتجهين متعامدان (الزاوية 90 درجة). الضرب النقطي للمتجه بنفسه هو مربع مقداره: a · a = |a|^2. الضرب النقطي تبادلي، مما يعني أن a · b = b · a.

References

Sources

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.

Overview

Variables

Derivation

قانون جيب التمام على مثلث متجهي

التوسع الجبري للمقدار

المعادلة والتبسيط

الهوية النهائية

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Cross Product

Frequently Asked Questions

Sources