متجه التدرج (Gradient Vector)

Core idea

Overview

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم تعريف حقل متجه التدرج بواسطة المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لدالة قياسية بالنسبة للمتغيرات x و y و z. وهو يعمل كمعامل على حقل قياسي، يحوله إلى حقل متجه حيث يشير المقدار إلى معدل التغير ويشير الاتجاه إلى مسار الزيادة القصوى.

When to use: استخدم التدرج عندما تحتاج إلى تحديد اتجاه أشد الزيادة لدالة، أو إيجاد المتجهات العمودية للأسطح المستوية، أو حساب المشتقات الاتجاهية.

Why it matters: إنه أساسي في مسائل التحسين، وحقول الفيزياء (مثل الجاذبية أو الكهرباء)، والتعلم الآلي، حيث يدفع خوارزمية "الانحدار التدرجي" (gradient descent) لإيجاد القيم الدنيا للدالة.

Symbols

Variables

f = Scalar Function, x = X Coordinate, y = Y Coordinate, z = Z Coordinate

f

Scalar Function

Variable

x

X Coordinate

Variable

y

Y Coordinate

Variable

z

Z Coordinate

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق متجه التدرج

يتم اشتقاق متجه التدرج عن طريق التعبير عن التفاضل الكلي لدالة قياسية كحاصل ضرب نقطي بين متجه من المشتقات الجزئية ومتجه الإزاحة.

الدالة f(x, y, z) قابلة للاشتقاق عند النقطة محل الاهتمام.
نطاق f هو مجموعة مفتوحة في R³.

1

التفاضل الكلي

بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق f(x, y, z)، يمثل التفاضل الكلي التغيير المتناهي الصغر في قيمة الدالة الناتج عن إزاحة صغيرة dr = dx i + dy j + dz k.

df = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y + \frac{\partial f}{\partial z} d z

Note: تذكر أن dx و dy و dz تمثل زيادات متناهية الصغر مستقلة.

2

تمثيل حاصل الضرب النقطي

نعيد كتابة مجموع المشتقات الجزئية كحاصل ضرب نقطي لمتجهين لفصل معدل تغير الدالة عن الإزاحة.

df = (\frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k) \cdot (d x i + d y j + d z k)

Note: هذا يتطابق مع التعريف الهندسي لحاصل الضرب النقطي: a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

3

تعريف التدرج

بتعريف المتجه كعامل تدرج نبلا f، يمكننا التعبير عن التفاضل الكلي بشكل موجز كـ df = ∇f · dr.

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

Note: غالبًا ما يُشار إلى متجه التدرج باسم grad f.

Result

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{\partial f}{\partial x}$

اجعل $\frac{\partial f}{\partial x}$ موضوع المعادلة

\frac{\partial f}{\partial x} = \nabla f \cdot i

اعزل المشتقة الجزئية بالنسبة لـ x باستخدام الضرب النقطي أو استخراج المكونات.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{\partial f}{\partial y}$

اجعل $\frac{\partial f}{\partial y}$ موضوع المعادلة

\frac{\partial f}{\partial y} = \nabla f \cdot j

اعزل المشتقة الجزئية بالنسبة لـ y باستخدام الضرب النقطي مع متجه الوحدة j.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{\partial f}{\partial z}$

اجعل $\frac{\partial f}{\partial z}$ موضوع المعادلة

\frac{\partial f}{\partial z} = \nabla f \cdot k

اعزل المشتقة الجزئية بالنسبة لـ z باستخدام الضرب النقطي مع متجه الوحدة k.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

One free problem

Practice Problem

أوجد تدرج f(x,y) = $x^{2}$ + 3y^2 عند النقطة (1, 2).

Hint: احسب المشتقات الجزئية df/dx و df/dy، ثم قم بتقييمها عند النقطة المعطاة.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في الأرصاد الجوية، يشير تدرج حقل الضغط إلى اتجاه ومقدار القوة الدافعة للرياح من مناطق الضغط المرتفع إلى مناطق الضغط المنخفض.

Study smarter

Tips

تأكد دائمًا من أن الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة المعنية.
تذكر أن متجه التدرج يكون دائمًا عموديًا على منحنيات أو أسطح مستوى الدالة.
استخدم التدرج لحساب المشتقة الاتجاهية عن طريق أخذ الجداء النقطي مع متجه الوحدة.

Avoid these traps

Common Mistakes

الخلط بين التدرج (متجه) والمشتقة الاتجاهية (كمية قياسية).
الفشل في تطبيع متجه الاتجاه قبل حساب المشتقة الاتجاهية.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

يتم اشتقاق متجه التدرج عن طريق التعبير عن التفاضل الكلي لدالة قياسية كحاصل ضرب نقطي بين متجه من المشتقات الجزئية ومتجه الإزاحة.

استخدم التدرج عندما تحتاج إلى تحديد اتجاه أشد الزيادة لدالة، أو إيجاد المتجهات العمودية للأسطح المستوية، أو حساب المشتقات الاتجاهية.

إنه أساسي في مسائل التحسين، وحقول الفيزياء (مثل الجاذبية أو الكهرباء)، والتعلم الآلي، حيث يدفع خوارزمية "الانحدار التدرجي" (gradient descent) لإيجاد القيم الدنيا للدالة.

الخلط بين التدرج (متجه) والمشتقة الاتجاهية (كمية قياسية). الفشل في تطبيع متجه الاتجاه قبل حساب المشتقة الاتجاهية.

في الأرصاد الجوية، يشير تدرج حقل الضغط إلى اتجاه ومقدار القوة الدافعة للرياح من مناطق الضغط المرتفع إلى مناطق الضغط المنخفض.

تأكد دائمًا من أن الدالة قابلة للاشتقاق عند النقطة المعنية. تذكر أن متجه التدرج يكون دائمًا عموديًا على منحنيات أو أسطح مستوى الدالة. استخدم التدرج لحساب المشتقة الاتجاهية عن طريق أخذ الجداء النقطي مع متجه الوحدة.

References

Sources

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.

Overview

Variables

Derivation

التفاضل الكلي

تمثيل حاصل الضرب النقطي

تعريف التدرج

Rearrangements

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Directional Derivative

Frequently Asked Questions

Sources