Mathematicsحساب المتجهاتUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

التباعد (مفهوم)

Q: What are common mistakes with the التباعد (مفهوم) formula?

الاعتقاد بأن النتيجة متجه. الخلط بين الترميز والتدرج.

Q: What is a real-world example of the التباعد (مفهوم) formula?

في سياق تدفق السائل خارج الأنبوب (تباعد موجب)، تُستخدم معادلة التباعد (مفهوم) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Q: What are some study tips for the التباعد (مفهوم) formula?

نتيجة عملية التباعد هي دائمًا قيمة قياسية، وليست متجهًا أبدًا. يشير التباعد الإيجابي إلى مصدر (تدفق خارجي)، بينما يشير التباعد السلبي إلى مصرف (تدفق داخلي). يسمى الحقل المتجه ذو التباعد الصفري في كل مكان بالحلزوني أو غير القابل للانضغاط. طبق التفاضل الجزئي على كل مكون من مكونات الحقل المتجه فقط بالنسبة لمحوره المقابل.

قياس قياسي للمصدر أو المصرف.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

\nabla \cdot F = \frac{\partial F _{x}}{\partial x} + \frac{\partial F _{y}}{\partial y} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

التباعد هو مؤثر تفاضلي يحدد المقدار الصافي لمصدر أو مصرف حقل متجه عند نقطة معينة. يمثل كثافة الحجم للتدفق الخارجي لحقل متجه من حجم متناهي الصغر حول نقطة معينة.

When to use: استخدم التباعد عندما تحتاج إلى تحديد ما إذا كان السائل أو الحقل يتمدد أو يتقلص أو يحافظ على كثافة ثابتة عند نقطة ما. إنه المؤثر الأساسي المستخدم في نظرية التباعد لتحويل تكامل تدفق السطح إلى تكامل حجم على المنطقة المحاطة.

Why it matters: إنه مفهوم أساسي في الفيزياء، ويشكل أساس قانون جاوس في الكهرومغناطيسية ومعادلة الاستمرارية في ميكانيكا الموائع. يسمح فهم التباعد للمهندسين والفيزيائيين بنمذجة حفظ الكتلة والتنبؤ بكيفية انتشار الحقول مثل الحرارة أو الكهرباء عبر الفضاء.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

فهم التباعد

التباعد هو مقياس عددي لمدى سلوك الحقل المتجهي كمصدر (تدفق خارجي) أو بالوعة (تدفق داخلي) عند نقطة ما.

$F$ قابل للاشتقاق في المنطقة المعنية.

تعريف التباعد:

يُعرّف التباعد على أنه حاصل الضرب النقطي لمؤثر ديل مع الحقل المتجهي.

div F = \nabla \cdot F

كتابة الصيغة الديكارتية:

يقوم بجمع كيفية تغير كل مركبة في اتجاهها الخاص، مما يلتقط التوسع أو الانكماش المحلي الصافي.

\nabla \cdot F = \frac{\partial F _{x}}{\partial x} + \frac{\partial F _{y}}{\partial y} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}

تفسير الإشارة:

يشير التباعد الإيجابي إلى تدفق المزيد من الخروج من حجم صغير مقارنة بالدخول؛ يشير التباعد السلبي إلى العكس.

\nabla \cdot F > 0 \Rightarrow net outflow (source), \nabla \cdot F < 0 \Rightarrow net inflow (sink)

Result

\nabla \cdot F > 0 \Rightarrow net outflow (source), \nabla \cdot F < 0 \Rightarrow net inflow (sink)

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Why it behaves this way

Intuition

تخيل عنصر حجم متناهيًا في الصغر، مثل مكعب صغير جدًا أو كرة صغيرة، داخل حقل متجهي. يقيس التباعد المعدل الصافي الذي تتدفق به «المادة» التي يمثلها الحقل، مثل المائع أو الحرارة أو الفيض الكهربائي

Term

صافي الفيض الخارج لكل وحدة حجم عند نقطة

تشير القيمة الموجبة إلى «مصدر» حيث يتمدد الحقل إلى الخارج؛ وتشير القيمة السالبة إلى «مصب» حيث يتقارب الحقل إلى الداخل.

Term

حقل متجهي

يمثل كمية لها مقدار واتجاه عند كل نقطة في الفضاء، مثل سرعة المائع أو المجال الكهربائي أو فيض الحرارة.

Term

مركبات الحقل المتجهي \mathbf{F} على طول المحاور x وy وz، على الترتيب

تصف هذه مقدار تأثير الحقل الموجَّه على طول كل محور إحداثي عند نقطة معينة.

Term

معدل تغير المركبة x لحقل المتجه بالنسبة إلى الإحداثي x

يقيس مدى تغير قوة الحقل في الاتجاه x عند التحرك بشكل متناهي الصغر في الاتجاه x. القيمة الموجبة تعني أن المركبة x تتزايد على طول محور x، مما يساهم في تدفق إلى الخارج.

Term

معدل تغير المركبة y لحقل المتجه بالنسبة إلى الإحداثي y

يقيس مدى تغير قوة الحقل في الاتجاه y عند التحرك بشكل متناهي الصغر في الاتجاه y، مما يساهم في تدفق إلى الخارج.

Term

معدل تغير المركبة z لحقل المتجه بالنسبة إلى الإحداثي z

يقيس مدى تغير قوة الحقل في الاتجاه z عند التحرك بشكل متناهي الصغر في الاتجاه z، مما يساهم في تدفق إلى الخارج.

Signs and relationships

\frac{∂ F_x}{∂ x}+\frac{∂ F_y}{∂ y}+\frac{∂ F_z}{∂ z}: يمثل كل مصطلح معدل تغير مركبة حقل على طول محورها الخاص. القيمة الموجبة لمصطلح (مثل $\frac{\partial F _{x}}{\partial x}$ > 0)
∇·\mathbf{F} > 0: يشير التباعد الموجب إلى تدفق صافٍ للحقل إلى الخارج من حجم متناهٍ في الصغر، مما يدل على وجود «مصدر» عند تلك النقطة.
∇·\mathbf{F} < 0: يشير التباعد السالب إلى تدفق صافٍ للحقل إلى الداخل نحو حجم متناهٍ في الصغر، مما يدل على وجود «مصب» عند تلك النقطة.
∇·\mathbf{F} = 0: يشير التباعد الصفري إلى عدم وجود تدفق صافٍ إلى داخل أو خارج حجم متناهٍ في الصغر، مما يعني أن الحقل غير قابل للانضغاط أو سولينويدي عند تلك النقطة.

Free study cues

Insight

Canonical usage

وحدات تباعد حقل متجهي هي باستمرار وحدات الحقل المتجهي مقسومة على وحدات الطول، مما يعكس مشتقة مكانية.

One free problem

Practice Problem

أوجد تباعد الحقل المتجه F = 4x i - 2y j + 7z k.

Hint: أخذ المشتقة الجزئية لكل مكون بالنسبة لمتغيره المقابل وجمعها.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق تدفق السائل خارج الأنبوب (تباعد موجب)، تُستخدم معادلة التباعد (مفهوم) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

نتيجة عملية التباعد هي دائمًا قيمة قياسية، وليست متجهًا أبدًا.
يشير التباعد الإيجابي إلى مصدر (تدفق خارجي)، بينما يشير التباعد السلبي إلى مصرف (تدفق داخلي).
يسمى الحقل المتجه ذو التباعد الصفري في كل مكان بالحلزوني أو غير القابل للانضغاط.
طبق التفاضل الجزئي على كل مكون من مكونات الحقل المتجه فقط بالنسبة لمحوره المقابل.

Avoid these traps

Common Mistakes

الاعتقاد بأن النتيجة متجه.
الخلط بين الترميز والتدرج.

Common questions

Frequently Asked Questions

التباعد هو مقياس عددي لمدى سلوك الحقل المتجهي كمصدر (تدفق خارجي) أو بالوعة (تدفق داخلي) عند نقطة ما.

استخدم التباعد عندما تحتاج إلى تحديد ما إذا كان السائل أو الحقل يتمدد أو يتقلص أو يحافظ على كثافة ثابتة عند نقطة ما. إنه المؤثر الأساسي المستخدم في نظرية التباعد لتحويل تكامل تدفق السطح إلى تكامل حجم على المنطقة المحاطة.

إنه مفهوم أساسي في الفيزياء، ويشكل أساس قانون جاوس في الكهرومغناطيسية ومعادلة الاستمرارية في ميكانيكا الموائع. يسمح فهم التباعد للمهندسين والفيزيائيين بنمذجة حفظ الكتلة والتنبؤ بكيفية انتشار الحقول مثل الحرارة أو الكهرباء عبر الفضاء.

الاعتقاد بأن النتيجة متجه. الخلط بين الترميز والتدرج.

نتيجة عملية التباعد هي دائمًا قيمة قياسية، وليست متجهًا أبدًا. يشير التباعد الإيجابي إلى مصدر (تدفق خارجي)، بينما يشير التباعد السلبي إلى مصرف (تدفق داخلي). يسمى الحقل المتجه ذو التباعد الصفري في كل مكان بالحلزوني أو غير القابل للانضغاط. طبق التفاضل الجزئي على كل مكون من مكونات الحقل المتجه فقط بالنسبة لمحوره المقابل.

References

Sources

Wikipedia: Divergence
Calculus by James Stewart
Halliday, Resnick, Walker - Fundamentals of Physics
Griffiths, David J. - Introduction to Electrodynamics
Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus by H. M. Schey
Mathematical Methods for Physicists by George B. Arfken, Hans J. Weber, and Frank E. Harris
Standard curriculum — Vector Calculus

التباعد (مفهوم)

Overview

Variables

Derivation

تعريف التباعد:

كتابة الصيغة الديكارتية:

تفسير الإشارة:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Dot product

Derivative (power)

Area Under Curve

Frequently Asked Questions

Sources