المشتقة (القوة)

Core idea

Overview

قاعدة القوة هي مبدأ أساسي في حساب التفاضل والتكامل يُستخدم لحساب مشتقة متغير مرفوع لأس ثابت ذي قيمة حقيقية. وهي تحدد أن ميل دالة القوة يتحدد بضرب حد المتغير بأسّه الحالي ثم تقليل هذا الأس بواحد بالضبط.

When to use: طبق هذه القاعدة عند اشتقاق أي حد على الصورة xⁿ، حيث n قيمة ثابتة. وهي صالحة لجميع الأعداد الحقيقية، بما في ذلك الأعداد الصحيحة الموجبة، والأعداد الصحيحة السالبة، والأسس الكسرية التي تمثل الجذور.

Why it matters: تسمح هذه القاعدة بالحساب السريع لمعدلات التغير دون الاعتماد على تعريف النهاية المرهق للمشتقات. وهي ضرورية في الفيزياء لاشتقاق التسارع من السرعة وفي الاقتصاد لتحديد التكاليف والإيرادات الهامشية.

Symbols

Variables

n = Power n, x = Variable x, $\frac{d y}{d x}$ = Derivative value

n

Power n

Variable

x

Variable x

Variable

\frac{d y}{d x}

Derivative value

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق قاعدة القوة للتفاضل

تنص قاعدة القوة على أن مشتقة $x^{n}$ هي n x^(n-1). يمكن اشتقاقها من المبادئ الأولى باستخدام التوسيع ذي الحدين.

n هو عدد صحيح موجب لهذا الاشتقاق (بحيث يعطي مبرهنة ذات الحدين توسيعًا محدودًا).
الحد عندما يقترب h من 0 موجود.

1

ابدأ من المبادئ الأولى:

استخدم تعريف المشتقة كحد لنسبة الفرق.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{n} - x ^{n}}{h}

2

قم بتوسيع (x+h)^n باستخدام مبرهنة ذات الحدين:

قم بتوسيع التعبير إلى حدود ذات قوى متزايدة لـ h.

(x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n}

3

قم بإلغاء x^n والقسمة على h:

طرح $x^{n}$ يلغي الحد الأول، تاركًا فقط الحدود التي تحتوي على h.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{n x ^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x ^{n - 2} h ^{2} + \dots + h ^{n}}{h}

4

خذ الحد:

عندما $h \to 0$ ، تختفي جميع الحدود التي لا تزال تحتوي على h، تاركة فقط الحد الأول.

f^{'} (x) = h \to 0 lim (n x^{n - 1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h + \dots + h^{n - 1})

5

النتيجة النهائية:

لذا $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$ .

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Result

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

يصف المشتق nx^(n-1) ميل الخط المماس لمنحنى y=xn عند أي نقطة معينة x، موضحًا كيف يتغير انحدار المنحنى عبر مجاله.

Term

المعدل الفوري للتغير في دالة بالنسبة للمتغير x.

يخبرك بمدى سرعة تغير قيمة الدالة لتغيير طفيف في x، ويمثل انحدار الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

Term

دالة قوة، حيث x هو المتغير المستقل و n هو أس ثابت حقيقي.

يمثل منحنى يعتمد انحداره وانحنائه على قيم n و x. تشمل الأمثلة الشائعة القطع المكافئ (x2) أو المكعبات (x3).

Term

الأس الثابت الذي يتم رفع المتغير x إليه في الدالة الأصلية.

يحدد 'ترتيب' أو 'درجة' دالة القوة ويؤثر بشكل كبير على شكلها ومعدل نموها.

Term

مشتقة xn، والتي تعطي ميل الخط المماس لمنحنى y=xn عند أي نقطة x.

تقوم هذه الدالة الجديدة بقياس الانحدار الدقيق للمنحنى الأصلي عند كل نقطة على طول مساره.

Signs and relationships

n-1 (as the exponent in the derivative): ينقص الأس بمقدار واحد لأن التفاضل يحسب معدل التغير، والذي يكون عادةً أقل بدرجة أو 'بعد' واحد من الدالة الأصلية. على سبيل المثال، معدل تغير المساحة (x2)
n (كمعامل في المشتقة): يصبح الأس الأصلي 'n' عاملاً مضاعفًا، مما يضبط معدل التغير. هذا يعكس كيف يؤثر حجم الأس الأصلي بشكل مباشر على انحدار المشتق.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تملي هذه القاعدة كيف يتغير بُعد دالة القوى عند اشتقاقها بالنسبة لمتغيرها الأساسي.

Dimension note

إذا كان المتغير 'x' بلا أبعاد (على سبيل المثال، رقم نقي، نسبة)، فإن ' $x^{n}$ ' يكون أيضًا بلا أبعاد، ومشتقته 'nx^(n-1)' ستبقى بلا أبعاد.

One free problem

Practice Problem

احسب معدل التغير اللحظي للدالة f(x) = x³ عند النقطة x = 2.

Hint: طبق قاعدة القوة nxⁿ⁻¹ باستبدال 3 بـ n و 2 بـ x.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق إيجاد السرعة من معادلة الإزاحة، تُستخدم معادلة المشتقة (القوة) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

اضرب الحد بالأس الحالي قبل تقليل القوة.
اطرح واحدًا بالضبط من الأس، مع التأكد من الحساب الدقيق للأعداد السالبة.
حوّل علامات الجذر إلى أسس كسرية قبل تطبيق القاعدة.
تذكر أن مشتقة الحد الخطي x¹ هي ببساطة 1.

Avoid these traps

Common Mistakes

التكامل بدلاً من الاشتقاق.
نسيان n=0 للثوابت.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

تنص قاعدة القوة على أن مشتقة x^n هي n x^(n-1). يمكن اشتقاقها من المبادئ الأولى باستخدام التوسيع ذي الحدين.

طبق هذه القاعدة عند اشتقاق أي حد على الصورة xⁿ، حيث n قيمة ثابتة. وهي صالحة لجميع الأعداد الحقيقية، بما في ذلك الأعداد الصحيحة الموجبة، والأعداد الصحيحة السالبة، والأسس الكسرية التي تمثل الجذور.

تسمح هذه القاعدة بالحساب السريع لمعدلات التغير دون الاعتماد على تعريف النهاية المرهق للمشتقات. وهي ضرورية في الفيزياء لاشتقاق التسارع من السرعة وفي الاقتصاد لتحديد التكاليف والإيرادات الهامشية.

التكامل بدلاً من الاشتقاق. نسيان n=0 للثوابت.

في سياق إيجاد السرعة من معادلة الإزاحة، تُستخدم معادلة المشتقة (القوة) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

اضرب الحد بالأس الحالي قبل تقليل القوة. اطرح واحدًا بالضبط من الأس، مع التأكد من الحساب الدقيق للأعداد السالبة. حوّل علامات الجذر إلى أسس كسرية قبل تطبيق القاعدة. تذكر أن مشتقة الحد الخطي x¹ هي ببساطة 1.

References

Sources

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
Wikipedia: Power rule
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

ابدأ من المبادئ الأولى:

قم بتوسيع (x+h)^n باستخدام مبرهنة ذات الحدين:

قم بإلغاء x^n والقسمة على h:

خذ الحد:

النتيجة النهائية:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integral of x^n

Frequently Asked Questions

Sources