Çarpım Kuralı

Core idea

Overview

Çarpım Kuralı, iki veya daha fazla türevlenebilir fonksiyonun çarpımı olan bir fonksiyonun türevini bulmak için kullanılan temel bir türev alma formülüdür. Bir çarpımın türevinin, sadece ayrı ayrı türevlerin çarpımı değil, orijinal fonksiyonların ve ilgili değişim oranlarının belirli bir kombinasyonu olduğunu ortaya koyar.

When to use: Cebirsel, trigonometrik veya üstel çarpımlar gibi, iki alt fonksiyonun çarpımı şeklinde oluşan bir fonksiyonla karşılaştığınızda bu kuralı uygulayın. Çarpımdaki her iki faktör de aynı bağımsız değişkenin sabit olmayan fonksiyonları olduğunda gereklidir.

Why it matters: Bu kural, etkileşimli değişkenlere sahip sistemlerde değişim oranlarını hesaplamak için çok önemlidir; örneğin bir elektrik devresindeki gücü (gerilim çarpı akım) veya ekonomik gelirin büyümesini (fiyat çarpı miktar) hesaplamak gibi. İntegral kalkülüste kısmi integrasyon yönteminin temelini oluşturur.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

Çarpım Kuralının Türetilmesi

Çarpım kuralı, iki fonksiyon u(x) ve v(x)'in çarpımının türevini alır. Uygun bir terim ekleyip çıkararak ilk prensiplerden türetilir.

u(x) ve v(x) türevlenebilirdir.
İlgili limitler mevcuttur.

1

İlk Prensiplerle Başlayın:

$f (x) = u (x) v (x)$ için türev tanımını uygulayın.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

u(x+h)v(x) Ekleyin ve Çıkarın:

Bu, ifadenin değerini değiştirmeden biçimini değiştirir.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

Gruplandırın ve Çarpanlara Ayırın:

İki fark bölümüne ayırın ve ortak terimleri çarpanlara ayırın.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

Limiti Alın:

$h \to 0$ olarak, $u (x + h) \to u (x)$ ve bölümler türev olur.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

u değişkenini yalnız bırak

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

$u$ 'i, $v \frac{d u}{d x}$ terimini çıkararak ve $\frac{d v}{d x}$ 'e bölerek yalnız bırakın.

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

v değişkenini yalnız bırak

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

$v$ 'i, $u \frac{d v}{d x}$ terimini çıkararak ve $\frac{d u}{d x}$ 'e bölerek yalnız bırakın.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

du/dx değişkenini yalnız bırak

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

$\frac{d u}{d x}$ 'i, $u \frac{d v}{d x}$ terimini çıkararak ve $v$ 'e bölerek yalnız bırakın.

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

dv/dx değişkenini yalnız bırak

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

$\frac{d v}{d x}$ 'i, $v \frac{d u}{d x}$ terimini çıkararak ve $u$ 'e bölerek yalnız bırakın.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Kenar uzunlukları bağımsız bir değişkenin fonksiyonu olan bir dikdörtgeni hayal edin; alanının değişim oranı, genişliğinin mevcut yüksekliği ile ölçeklendirilmiş değişimi oranının toplamıdır

Term

İki fonksiyon, u ve v'nin çarpımının bağımsız değişken x'e göre anlık değişim oranı.

u*v çarpımı ile temsil edilen genel miktarın x değiştikçe ne kadar hızlı arttığı veya azaldığı.

Term

Belirli bir x noktasındaki ilk fonksiyonun değeri.

Çarpımın ilk çarpanının mevcut 'büyüklüğü' veya 'katkısı'.

Term

Belirli bir x noktasındaki ikinci fonksiyonun değeri.

Çarpımın ikinci çarpanının mevcut 'büyüklüğü' veya 'katkısı'.

Term

İlk fonksiyon u'nun x'e göre anlık değişim oranı.

İlk çarpan u'nun x değiştikçe ne kadar hızlı değiştiği, v'den bağımsız olarak.

Term

İkinci fonksiyon v'nin x'e göre anlık değişim oranı.

İkinci çarpan v'nin x değiştikçe ne kadar hızlı değiştiği, u'dan bağımsız olarak.

Signs and relationships

+: Çarpımın toplam değişim oranı, iki farklı katkının toplamıdır: v'nin u ile ölçeklenmiş değişim oranı ve u'nun v ile ölçeklenmiş değişim oranı.

Free study cues

Insight

Canonical usage

The Product Rule ensures dimensional consistency when differentiating a function that is the product of two other functions, where the units of the derivative are the units of the product of the functions divided by the unit of the independent variable.

One free problem

Practice Problem

Bir fonksiyon iki alt fonksiyon u ve v'nin çarpımı olarak tanımlanmıştır. Eğer u = 5 ve v = 10, ilgili türevleri du = 2 ve dv = 4 ise, toplam türev dy'yi hesaplayın.

Hint: Değerleri formüle yerleştirin: dy = (u ×dv) + (v ×du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Sönümlü harmonik hareket (e^-x * sinx) bağlamında Çarpım Kuralı, ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü hesabı modeldeki şekil, değişim hızı, olasılık veya kısıtla ilişkilendirmeye yardımcı olur.

Study smarter

Tips

Türev almadan önce u ve v'yi açıkça etiketleyin.
Cebirsel hatalardan kaçınmak için du ve dv'yi ayrı ayrı hesaplayın.
İki eklenen terimin sırasının önemli olmadığını unutmayın.
İşaretleri doğru tutmak için ifadeleri yerine koyarken parantez kullanın.

Avoid these traps

Common Mistakes

Sadece türevleri çarpmak (u'v').
İşaret hataları.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Çarpım kuralı, iki fonksiyon u(x) ve v(x)'in çarpımının türevini alır. Uygun bir terim ekleyip çıkararak ilk prensiplerden türetilir.

Cebirsel, trigonometrik veya üstel çarpımlar gibi, iki alt fonksiyonun çarpımı şeklinde oluşan bir fonksiyonla karşılaştığınızda bu kuralı uygulayın. Çarpımdaki her iki faktör de aynı bağımsız değişkenin sabit olmayan fonksiyonları olduğunda gereklidir.

Bu kural, etkileşimli değişkenlere sahip sistemlerde değişim oranlarını hesaplamak için çok önemlidir; örneğin bir elektrik devresindeki gücü (gerilim çarpı akım) veya ekonomik gelirin büyümesini (fiyat çarpı miktar) hesaplamak gibi. İntegral kalkülüste kısmi integrasyon yönteminin temelini oluşturur.

Sadece türevleri çarpmak (u'v'). İşaret hataları.

Sönümlü harmonik hareket (e^-x * sinx) bağlamında Çarpım Kuralı, ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü hesabı modeldeki şekil, değişim hızı, olasılık veya kısıtla ilişkilendirmeye yardımcı olur.

Türev almadan önce u ve v'yi açıkça etiketleyin. Cebirsel hatalardan kaçınmak için du ve dv'yi ayrı ayrı hesaplayın. İki eklenen terimin sırasının önemli olmadığını unutmayın. İşaretleri doğru tutmak için ifadeleri yerine koyarken parantez kullanın.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

İlk Prensiplerle Başlayın:

u(x+h)v(x) Ekleyin ve Çıkarın:

Gruplandırın ve Çarpanlara Ayırın:

Limiti Alın:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources