Hagen-Poiseuille Denklemi | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Bu denklem, akışkanın paralel katmanlarda, aralarında herhangi bir bozulma olmadan hareket ettiği laminer akış koşullarını tanımlar. Bir borunun uzunluğu boyunca basınç düşüşünü borunun yarıçapına ve akışkanın viskozitesine bağlar. Sonuç, akışkan hacminin birim zamanda kesitten geçme hızını sağlar.

When to use: Bu denklemi, sabit dairesel kesite sahip bir borudan viskoz, sıkıştırılamaz bir Newton akışkanının laminer akışını analiz ederken kullanın.

Why it matters: Dolaşım sisteminde kan akışını anlamak, yağlama sistemleri tasarlamak ve mikroakışkan cihazlarda akışı analiz etmek için esastır.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Hagen-Poiseuille Denkleminin Türetilmesi

Bu türetme, Navier-Stokes denklemlerinden türetilen hız profilini entegre ederek Newton tipi bir akışkanın silindirik bir borudan hacimsel debisini belirler.

Akışkan sıkıştırılamaz ve Newton tipidir.
Akış laminer, kararlı ve tam gelişmiştir.
Boru, sabit dairesel kesitli düz, rijit bir silindirdir.
There, no-slip at the pipe walls.

1

Bir Akışkan Elemanı Üzerinde Kuvvet Dengesi

r yarıçapında ve L uzunluğunda silindirik bir akışkan elemanı düşünüyoruz. Kararlı akış için, akışkanı iten basınç kuvveti, elemanın yüzeyine etki eden kayma gerilimi kuvveti tarafından dengelenmelidir.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: Bu, basınç gradyanının boru boyunca sabit olduğunu varsayar.

2

Kayma Geriliminin İfade Edilmesi

Newton'un viskozite yasasını kullanarak, kayma gerilimini hız gradyanına bağlıyoruz. Kuvvet dengesi denklemini yeniden düzenleyerek, hız gradyanını basınç düşüşü cinsinden çözebiliriz.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: Negatif işaret, hızın yarıçap arttıkça azaldığını gösterir.

3

Hız Profili İçin Entegrasyon

Hız gradyanının r'ye göre integrali alınarak ve kaymama sınır koşulu (r=R'de v=0) uygulanarak parabolik hız profili elde edilir.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: Bu, hızın borunun merkezinde (r=0) maksimum olduğunu gösterir.

4

Hacimsel Debisinin Hesaplanması

Toplam hacimsel debi Q, silindirik koordinatlar kullanılarak borunun tüm kesit alanı üzerinden hız profilinin integrali alınarak bulunur.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: 2πr dr terimi, r yarıçapındaki ince bir halkanın alanını temsil eder.

5

Son Entegrasyon

İntegralin gerçekleştirilmesi, debiyi boru geometrisi, akışkan viskozitesi ve basınç düşüşüyle ilişkilendiren nihai Hagen-Poiseuille denklemini verir.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Boru yarıçapına ( $R^{4}$ ) olan güçlü bağımlılığa dikkat edin.

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

mu değişkenini yalnız bırak

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

Denklemi mu değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

deltaP değişkenini yalnız bırak

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

Denklemi deltaP değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Grafik, hacimsel akış hızı (Q) ile basınç farkı ($\Delta\mathcal{P}$) arasında doğrusal bir ilişki göstermektedir. Basınç farkı arttıkça, hacimsel akış hızı doğrudan ve orantılı olarak artar. Bir öğrenci için bu, diğer faktörler sabit kalmak koşuluyla, basınç farkını iki katına çıkarmanın akış hızını da iki katına çıkaracağı anlamına gelir. En önemli özellik bu doğrudan orantılılıktır; bu, basıncın bir borudaki sıvı akışını nasıl yönlendirdiğini açıkça göstermektedir.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Görsel sezgi: hayal edin fluid moving boyunca long, straight straw. fluid near center moves fastest, while fluid touching walls dir stationary due e friction (no-slip condition). bu creates parabolic hız profile burada 'core' nin liquid slides boyunca sleeve nin slower-moving layers. total hacim squeezed boyunca başına second depends heavily üzerinde nasıl wide straw dir ve nasıl 'thick' veya sticky fluid feels. Temel büyüklükler Q, R, µ, P1 - P2, L olarak izlenir.

Term

Fiziksel anlam birinci: Volumetric Flow hız Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Sezgisel açıklama birinci: total hacim nin fluid passing boyunca cross-section nin pipe başına unit nin zaman; essentially nasıl fast 'bucket' fills up. Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Term

Fiziksel anlam ikinci: Pipe Radius Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Sezgisel açıklama ikinci: distance den center e wall. çünkü o dir raised e 4th power, doubling radius increases flow tarafından 16 times, making o most sensitive factor içinde denklem. Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Term

Fiziksel anlam üçüncü: Dynamic Viscosity Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Sezgisel açıklama üçüncü: 'internal friction' veya thickness nin fluid. High viscosity (like honey) resists flow daha den low viscosity (like water). Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Term

Fiziksel anlam dördüncü: basınç Drop Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Sezgisel açıklama dördüncü: 'push' veya driving kuvvet. Fluid yalnızca flows eğer there dir difference içinde basınç e overcome resistive viscous forces. Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Term

Fiziksel anlam beşinci: Pipe uzunluk Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Sezgisel açıklama beşinci: distance fluid must travel. Longer pipes create daha total friction against walls, hangi slows down flow için given basınç. Bağlam: Derivation nin Hagen-Poiseuille denklem.

Signs and relationships

R^4: İşaret gerekçesi birinci: pozitif ve exponential; o signifies şu widening pipe dramatically reduces resistance e flow tarafından moving daha fluid away den high-friction walls.
(P1 - P2): İşaret gerekçesi ikinci: pozitif; flow always moves den high basınç (P1) e low basınç (P2). larger difference results içinde higher hız.
Paydadaki 8µL: İşaret gerekçesi üçüncü: Inverse relationship; increasing 'stickiness' (viscosity) veya distance (uzunluk) adds e total resistance, thereby decreasing flow hız.

One free problem

Practice Problem

Dinamik viskozitesi 0,001 Pa·s, boru yarıçapı 0,01 m, uzunluğu 2 m ve basınç farkı 100 Pa olan bir akışkan için akış hızı Q ( $m^{3}$ /s) hesaplayın.

Hint: Basınç farkının (P1 - P2) olarak hesaplandığından ve birimlerin SI olduğundan emin olun.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Kardiyovasküler fonksiyonu değerlendirmek için belirli bir damar segmentinden akan kan hacmini hesaplamak bağlamında Hagen-Poiseuille Denklemi, ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü tasarımın boyutlarını, performansını veya güvenlik payını kontrol etmeye yardımcı olur.

Study smarter

Tips

Reynolds sayısını kontrol ederek akışın laminer olduğundan emin olun.
Giriş etkilerini göz ardı edecek kadar borunun çapına göre yeterince uzun olduğundan emin olun.
Basınç, uzunluk ve yarıçap birimlerinin tutarlı olduğunu kontrol edin.

Avoid these traps

Common Mistakes

Denklemi, artık geçerli olmadığı türbülanslı akış koşullarına uygulamak.
Borunun yarıçapını çap ile karıştırmak.
Yanlış basınç veya akış değerlerine yol açan viskozite birimlerini dönüştürmeyi başaramamak.

Common questions

Frequently Asked Questions

Bu türetme, Navier-Stokes denklemlerinden türetilen hız profilini entegre ederek Newton tipi bir akışkanın silindirik bir borudan hacimsel debisini belirler.

Bu denklemi, sabit dairesel kesite sahip bir borudan viskoz, sıkıştırılamaz bir Newton akışkanının laminer akışını analiz ederken kullanın.

Dolaşım sisteminde kan akışını anlamak, yağlama sistemleri tasarlamak ve mikroakışkan cihazlarda akışı analiz etmek için esastır.

Denklemi, artık geçerli olmadığı türbülanslı akış koşullarına uygulamak. Borunun yarıçapını çap ile karıştırmak. Yanlış basınç veya akış değerlerine yol açan viskozite birimlerini dönüştürmeyi başaramamak.

Kardiyovasküler fonksiyonu değerlendirmek için belirli bir damar segmentinden akan kan hacmini hesaplamak bağlamında Hagen-Poiseuille Denklemi, ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü tasarımın boyutlarını, performansını veya güvenlik payını kontrol etmeye yardımcı olur.

Reynolds sayısını kontrol ederek akışın laminer olduğundan emin olun. Giriş etkilerini göz ardı edecek kadar borunun çapına göre yeterince uzun olduğundan emin olun. Basınç, uzunluk ve yarıçap birimlerinin tutarlı olduğunu kontrol edin.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation