Korelasyon (PMCC) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Pearson Çarpım Momenti Korelasyon Katsayısı (PMCC), iki sürekli değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü nicelendirmek için istatistiksel bir ölçü olarak hizmet eder. Değişkenlerin kovaryansını standart sapmalarının çarpımıyla standartlaştırır ve -1 ile +1 arasında değişen boyutsuz bir indeksle sonuçlanır.

When to use: Bir değişkendeki değişikliğin diğerinde orantılı bir değişikliğe karşılık gelip gelmediğini görmek için eşleştirilmiş nicel verileri analiz ederken bu formülü uygulayın. Özellikle doğrusal ilişkiler için tasarlanmıştır ve verilerin iki değişkenli normal bir dağılımdan örneklenmiş olduğunu varsayar.

Why it matters: Bu katsayı, iklim verilerindeki modelleri belirlemek, finansal piyasalardaki riski korumak ve demografik faktörler arasındaki bağlantıları bulmak için bilim insanlarının kullandığı tahmin modellemesinin temel taşıdır. İki fenomenin istatistiksel olarak bağlantılı mı yoksa bağımsız mı olduğu sonucuna varmak için objektif bir matematiksel temel sağlar.

Symbols

Variables

r = Correlation, $S_{x y}$ = Covariance Sum, $S_{xx}$ = Var Sum X, $S_{y y}$ = Var Sum Y

r

Correlation

Variable

S_{x y}

Covariance Sum

Variable

S_{xx}

Var Sum X

Variable

S_{y y}

Var Sum Y

Variable

Walkthrough

Derivation

Formül: Çarpım Momenti Korelasyon Katsayısı (PMCC)

Pearson'ın PMCC r'si, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü ölçer, -1 ile 1 arasında değişir.

İlişki yaklaşık olarak doğrusaldır.
Aykırı değerler r'yi güçlü bir şekilde etkileyebilir.

1

Özet Miktarları Tanımla:

Çapraz sapma toplamını ve x ve y için kare toplamlarını hesaplayın.

S_{x y} = \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}), S_{xx} = \sum (x - \overset{x}{ˉ})^{2}, S_{y y} = \sum (y - \overset{y}{ˉ})^{2}

2

PMCC Formülünü Belirt:

Sonucu standartlaştırmak için kovaryans benzeri ölçüyü yayılımların çarpımına bölün.

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Note: r=1 mükemmel pozitif doğrusal korelasyondur, r=-1 mükemmel negatif, ve r=0 doğrusal korelasyon yoktur.

Result

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)

Why it behaves this way

Intuition

Bir veri noktası saçılım grafiği hayal edin; PMCC bu noktaların bir doğru etrafında ne kadar yakından kümelendiğini ve o doğrunun yukarı doğru (pozitif korelasyon) veya aşağı doğru (negatif korelasyon) eğimli olup olmadığını ölçer.

Term

İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünün ve yönünün standartlaştırılmış bir ölçüsü.

-1 (mükemmel negatif doğrusal korelasyon) ile +1 (mükemmel pozitif doğrusal korelasyon) arasında değişir, 0 ise doğrusal korelasyon olmadığını gösterir.

Term

Her değişkenin ortalamasından sapmalarının çarpımlarının toplamı.

Değişkenlerin birlikte artma/azalma eğiliminde olup olmadığını (pozitif) veya zıt yönlerde (negatif) olup olmadığını gösterir.

Term

x değişkeninin ortalamasından sapmalarının karelerinin toplamı.

x değişkeni verisindeki toplam değişkenliği veya yayılımı temsil eder.

Term

y değişkeninin ortalamasından sapmalarının karelerinin toplamı.

y değişkeni verisindeki toplam değişkenliği veya yayılımı temsil eder.

Term

x ve y'nin bireysel değişkenliğinden elde edilen bir normalleştirme faktörü.

Kovaryans benzeri terimi (S_xy) ölçekler, böylece korelasyon katsayısı 'r' her zaman -1 ile +1 arasında kalır ve bu da onu boyutsal olmayan bir ölçü haline getirir.

Signs and relationships

S_{xy}: S_xy'nin işareti doğrudan 'r'nin işaretini belirler. Pozitif bir S_xy, bir değişken arttıkça diğerinin de artma eğiliminde olduğunu gösterir (pozitif korelasyon).
√(S_{xx)S_{yy}}: S_xx ve S_yy karelerin toplamı olduğu için bu terim her zaman pozitiftir, bu nedenle negatif değildir. Bir ölçekleme faktörü görevi görür ve 'r'nin mutlak değerinin asla 1'i aşmamasını sağlayarak doğrusal ölçüyü standartlaştırır.

Free study cues

Insight

Canonical usage

The Pearson Product-Moment Correlation Coefficient (PMCC) is a dimensionless statistical measure, used to quantify the strength and direction of a linear relationship between two variables, and is reported as a value

Dimension note

The Pearson Product-Moment Correlation Coefficient (PMCC) is a ratio of the covariance of two variables to the product of their standard deviations.

One free problem

Practice Problem

Bir araştırmacı çalışma saatleri ile sınav notları arasındaki bağlantıyı inceliyor. Ürünlerin toplamı Sxy = 45, çalışma saatleri için kareler toplamı Sxx = 25 ve sınav notları için kareler toplamı Syy = 100 verildiğinde, korelasyon katsayısı r'yi hesaplayın.

Hint: Ürünlerin toplamını, kareler toplamlarının çarpımının kareköküne bölün.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Boy ve ayakkabı numarası arasındaki korelasyon bağlamında Korelasyon (PMCC), ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü hesabı modeldeki şekil, değişim hızı, olasılık veya kısıtla ilişkilendirmeye yardımcı olur.

Study smarter

Tips

Doğrusal bir eğilimin varlığını doğrulamak için her zaman verileri önce bir saçılım grafiği ile görselleştirin.
Aykırı değerlere dikkat edin, çünkü bunlar r değerini önemli ölçüde artırabilir veya azaltabilir.
Sıfır korelasyonun doğrusal bir ilişki olmadığını, ancak doğrusal olmayan bir ilişkinin hala var olabileceğini unutmayın.

Avoid these traps

Common Mistakes

Korelasyonu nedensellikle karıştırmak.
r > 1 (hesaplama hatası).

Common questions

Frequently Asked Questions

Pearson'ın PMCC r'si, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü ölçer, -1 ile 1 arasında değişir.

Bir değişkendeki değişikliğin diğerinde orantılı bir değişikliğe karşılık gelip gelmediğini görmek için eşleştirilmiş nicel verileri analiz ederken bu formülü uygulayın. Özellikle doğrusal ilişkiler için tasarlanmıştır ve verilerin iki değişkenli normal bir dağılımdan örneklenmiş olduğunu varsayar.

Bu katsayı, iklim verilerindeki modelleri belirlemek, finansal piyasalardaki riski korumak ve demografik faktörler arasındaki bağlantıları bulmak için bilim insanlarının kullandığı tahmin modellemesinin temel taşıdır. İki fenomenin istatistiksel olarak bağlantılı mı yoksa bağımsız mı olduğu sonucuna varmak için objektif bir matematiksel temel sağlar.

Korelasyonu nedensellikle karıştırmak. r > 1 (hesaplama hatası).

Boy ve ayakkabı numarası arasındaki korelasyon bağlamında Korelasyon (PMCC), ölçümleri yorumlanabilir bir değere dönüştürmek için kullanılır. Sonuç önemlidir çünkü hesabı modeldeki şekil, değişim hızı, olasılık veya kısıtla ilişkilendirmeye yardımcı olur.

Doğrusal bir eğilimin varlığını doğrulamak için her zaman verileri önce bir saçılım grafiği ile görselleştirin. Aykırı değerlere dikkat edin, çünkü bunlar r değerini önemli ölçüde artırabilir veya azaltabilir. Sıfır korelasyonun doğrusal bir ilişki olmadığını, ancak doğrusal olmayan bir ilişkinin hala var olabileceğini unutmayın.

References

Sources

Wikipedia: Pearson product-moment correlation coefficient
Probability and Statistics for Engineers and Scientists by Walpole, Myers, Myers, Ye (9th Edition)
Moore, David S., and George P. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics.
Introduction to the Practice of Statistics by David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig
Statistical Methods for the Social Sciences by Alan Agresti
Wikipedia article "Pearson correlation coefficient
AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)