MathematicsDoğrusal CebirUniversity
OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

Matris İzi Calculator

Kare bir matrisin köşegen elemanlarının toplamı, aynı zamanda özdeğerlerinin toplamına eşittir.

Use the free calculatorCheck the variablesOpen the advanced solver
Open Advanced Calculator
This is the free calculator preview. Advanced walkthroughs stay in the app.
Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

Kare bir matrisin izi, ana köşegen üzerindeki elemanların toplamı olarak tanımlanan skaler değerdir. Doğrusal cebirde temel bir operatördür, matrisin özdeğerlerinin toplamına eşittir ve benzerlik dönüşümleri altında değişmez kalır.

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: Özdeğerlerin toplamını hesaplamanız veya bir doğrusal dönüşümün değişmez özelliklerini belirlemeniz gerektiğinde izi kullanın. Ayrıca iki matrisin iç çarpımını hesaplarken veya tensör kalkülüsünde bir vektör alanının diverjansını analiz ederken de kullanılır.

Why it matters: İz, karmaşık matris işlemlerini sistem hakkında temel bilgileri yakalayan tek bir skaler değere indirdiği için hayati önem taşır. Fizikte, kuantum mekaniğinde beklenti değerlerini bulmak ve termodinamikte ayırma fonksiyonunu tanımlamak için kullanılır.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Karesel olmayan bir matris için iz hesaplamaya çalışmak.
  • tr(ABC) = tr(ACB) varsaymak; yalnızca tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) gibi döngüsel permütasyonlar garanti edilir.
  • İzi determinant ile karıştırmak.

One free problem

Practice Problem

2×2 boyutlu bir A karesel matrisinin köşegen elemanları a₁₁ = x ve a₂₂ = y'dir. A matrisinin izini (sonuç) hesaplayın.

Hint: İz, sol üstten sağ alta doğru ana köşegen üzerindeki sayıların toplanmasıyla bulunur.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.