Genel Vektör Yüzey İntegrali (Akı) Calculator
Bu formül, bir vektör alanının parametrik bir S yüzeyi boyunca akısını, vektör alanının ve yüzey normal vektörünün nokta çarpımını entegre ederek hesaplar.
Formula first
Overview
Yüzey integrali, bir yüzeyden birim zamanda geçen net hacmi veya kütleyi hesaplar. Yüzeyi u ve v değişkenlerine göre parametreleştirerek, diferansiyel alan elementi, hem yüzey yönelimini hem de yerel gerilmeyi hesaba katan kısmi türevlerin vektörel çarpımına dönüştürülür.
Symbols
Variables
F = Vector Field, S = Surface
Apply it well
When To Use
When to use: Bu formülü, parametrik denklemlerle tanımlanmış bir yüzey boyunca bir vektör alanının (hız veya elektrik alanı gibi) akışını hesaplamanız gerektiğinde kullanın.
Why it matters: Akışkanların bir membrandan geçen kütle akışını veya elektromanyetizmada bir yüzeyden geçen elektrik alanının akısını (Gauss Yasası) hesaplamak gibi fiziksel olaylar için önemlidir.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Normal vektörün yüzey normaline göre yönelimini kontrol etmeyi unutmak.
- Kısmi türevlerin vektörel çarpımının büyüklüğünü ve yönünü doğru hesaplamayı ihmal etmek.
One free problem
Practice Problem
Vektör alanı F = <0, 0, z> için birim kürenin S üst yarısı (z >= 0) boyunca akıyı küresel koordinatlarla (phi [0, pi/2], theta [0, 2pi]) parametreleştirerek hesaplayın.
Hint: R yarıçaplı bir küre için normal vektör R*sin(phi)*<sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta), cos(phi)>'dir.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. (2011). Vector Calculus.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition. Cengage Learning.