Função de Demanda Compensada (Hicksiana) - Study Guide | Wiki

Core idea

Overview

A Função de Demanda Compensada (Hicksiana), derivada do Lema de Shephard, descreve a quantidade de um bem que um consumidor demandaria para atingir um nível de utilidade específico, assumindo que sua renda é 'compensada' por mudanças nos preços. Ao contrário da demanda Marshalliana, a demanda Hicksiana isola o efeito de substituição mantendo a utilidade constante, tornando-a um conceito crucial na economia do bem-estar para analisar o verdadeiro custo de vida e o impacto das mudanças de preços no bem-estar do consumidor, livre de efeitos de renda.

When to use: Esta fórmula é usada em microeconomia para derivar a função de demanda hicksiana por um bem quando a função de despesa é conhecida. É essencial para analisar o comportamento do consumidor sob a suposição de utilidade constante, particularmente ao separar os efeitos de substituição dos efeitos de renda de mudanças de preço, ou para análise de bem-estar.

Why it matters: Compreender a demanda hicksiana é fundamental para a teoria avançada do consumidor e a economia do bem-estar. Ela permite que os economistas meçam com precisão o impacto no bem-estar das mudanças de preços (por exemplo, usando variação compensatória ou variação equivalente) e construam índices de custo de vida verdadeiros, fornecendo uma imagem mais precisa do bem-estar do consumidor do que a demanda marshalliana padrão.

Why it makes sense

Intuition

Imagine um consumidor tentando permanecer em uma 'linha de felicidade' específica (curva de indiferença) em um mapa de escolhas de consumo. A demanda Hicksiana por um bem mostra quanta parte desse bem ele compraria a diferentes

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Demanda Compensada (Hicksiana) (Lema de Shephard)

A demanda Hicksiana por um bem é encontrada calculando a derivada parcial da função de despesa em relação ao preço desse bem.

As preferências do consumidor são racionais, completas e transitivas.
A função de despesa $e (p, u)$ é diferenciável em relação aos preços.
O consumidor minimiza a despesa para atingir um determinado nível de utilidade $u$ .

1

Definir a Função de Despesa:

A função de despesa $e (p, u)$ representa a despesa mínima necessária para atingir um nível de utilidade $u$ dado um vetor de preços $p$ para os bens $x$ . Este é um problema de otimização restrita.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

Aplicar o Teorema do Envelopamento (Lema de Shephard):

De acordo com o Lema de Shephard, que é uma aplicação direta do Teorema do Envelopamento, a derivada parcial da função de despesa em relação ao preço do bem $i$ ( $p_{i}$ ) fornece a função de demanda Hicksiana (compensada) para o bem $i$ , $h_{i} (p, u)$ . Isso significa que a quantidade do bem $i$ demandada para manter um nível de utilidade constante $u$ é precisamente a taxa na qual a despesa mínima muda em relação a $p_{i}$ .

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

Demanda Hicksiana: Isolar $p$

No direct algebraic rearrangement for p

Tornar $p$ (vetor de preço) o sujeito da função de demanda Hicksiana geralmente não é possível por meio de um simples rearranjo algébrico, pois está embutido em uma derivada parcial e na função de despesa.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

Demanda Hicksiana: Isolar $u$

No direct algebraic rearrangement for u

Tornar $u$ (nível de utilidade) o sujeito da função de demanda Hicksiana geralmente não é possível por meio de um simples rearranjo algébrico, pois é uma entrada para a função de despesa e a derivada.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

Demanda Hicksiana: Isolar $e$

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

Tornar $e (p, u)$ (função de despesa) o assunto requer a integração da função de demanda Hicksiana, que é a operação inversa da diferenciação, não um simples rearranjo algébrico.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

Demanda Hicksiana: Isolar $p_{i}$

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

Tornar $p_{i}$ (preço do bem i) o sujeito da função de demanda Hicksiana geralmente não é possível por meio de um simples rearranjo algébrico, pois é a variável de diferenciação e uma entrada para a função de despesa.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta equação é usada para garantir consistência dimensional, em que a demanda Hicksiana por um bem, representando uma quantidade, é derivada da derivada parcial da função dispêndio (unidades monetárias).

One free problem

Practice Problem

Dada uma função de despesa $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ , onde $p_{1}$ e $p_{2}$ são os preços de dois bens e $u$ é o nível de utilidade. Derive a função de demanda hicksiana para o bem 1, $h_{1} (p, u)$ .

Hint: Aplique a regra da derivada parcial: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ e a regra da cadeia, se necessário.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No contexto de compensated demand for gasoline to maintain a certain lifestyle utility despite fuel price fluctuations, Compensated (Hicksian) Demand Function é utilizado para calcular Hicksian Demand for Good i from Price Vector, Utility Level, and Expenditure Function. O resultado importa porque ajuda a interpretar a taxa de variação local, a direção ou o efeito marginal na situação original.

Cross-subject links

Connections

Abstract form: f(x) = ∂F/∂x (uma derivada de uma função potencial/escalar em relação a um parâmetro)

Gibbs-Duhem Equation

Chemistrydφ = ∂Φ/∂x dx (sensibilidade diferencial)

Em economia, a demanda hicksiana é a derivada da função dispêndio em relação ao preço, representando a 'sensibilidade' do custo às variações de preço. Da mesma forma, em termodinâmica, o potencial químico é a derivada da energia livre de Gibbs em relação ao número de moles, representando a sensibilidade da energia às variações de composição.

Teaching hook: Explique que em ambos os casos, derivar uma função 'total' (Dispêndio ou Energia Livre de Gibbs) revela o valor 'marginal' subjacente de um único componente.

Gradient Descent Step

Data & ComputingΔy = ∂J/∂θ (sensibilidade do gradiente)

A função de demanda compensada é o gradiente da função dispêndio em relação ao preço, indicando como o gasto deve se ajustar para manter a utilidade constante. O gradiente descendente também usa o gradiente de uma função de perda para determinar como os parâmetros devem se ajustar para minimizar o erro.

Teaching hook: Use a ideia de 'descida mais íngreme' em uma paisagem para mostrar aos alunos como a derivada age como uma bússola direcional para otimizar tanto orçamentos domésticos quanto modelos de aprendizado de máquina.

Backpropagation (Chain Rule)

Data & Computingy = ∂L/∂x (mapeamento por derivada parcial)

A função de demanda hicksiana mapeia uma mudança de preço para uma mudança na quantidade ótima por meio da função dispêndio. A retropropagação usa a regra da cadeia para mapear mudanças nos pesos de saída de volta aos sinais de entrada, calculando derivadas parciais entre camadas.

Teaching hook: Destaque que em ambos os casos, usamos o cálculo de variações para entender como variáveis individuais contribuem para o resultado global de um sistema complexo.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir demanda hicksiana com demanda marshalliana (que mantém a renda constante).
Realizar incorretamente a diferenciação parcial, especialmente com múltiplas variáveis de preço.
Esquecer que $p$ é um vetor de *todos* os preços, não apenas $p_{i}$ .

Study smarter

Tips

Lembre-se de que a demanda hicksiana mantém a utilidade ( $u$ ) constante, não a renda.
A função de despesa $e (p, u)$ fornece o custo mínimo para atingir a utilidade $u$ aos preços $p$ .
A derivada parcial $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ significa diferenciar $e$ em relação a $p_{i}$ , tratando todos os outros preços e $u$ como constantes.
Esta relação é conhecida como Lema de Shephard.

Common questions

Frequently Asked Questions

A demanda Hicksiana por um bem é encontrada calculando a derivada parcial da função de despesa em relação ao preço desse bem.

Esta fórmula é usada em microeconomia para derivar a função de demanda hicksiana por um bem quando a função de despesa é conhecida. É essencial para analisar o comportamento do consumidor sob a suposição de utilidade constante, particularmente ao separar os efeitos de substituição dos efeitos de renda de mudanças de preço, ou para análise de bem-estar.

Compreender a demanda hicksiana é fundamental para a teoria avançada do consumidor e a economia do bem-estar. Ela permite que os economistas meçam com precisão o impacto no bem-estar das mudanças de preços (por exemplo, usando variação compensatória ou variação equivalente) e construam índices de custo de vida verdadeiros, fornecendo uma imagem mais precisa do bem-estar do consumidor do que a demanda marshalliana padrão.

Confundir demanda hicksiana com demanda marshalliana (que mantém a renda constante). Realizar incorretamente a diferenciação parcial, especialmente com múltiplas variáveis de preço. Esquecer que $\mathbf{p}$ é um vetor de *todos* os preços, não apenas $p_i$.

No contexto de compensated demand for gasoline to maintain a certain lifestyle utility despite fuel price fluctuations, Compensated (Hicksian) Demand Function é utilizado para calcular Hicksian Demand for Good i from Price Vector, Utility Level, and Expenditure Function. O resultado importa porque ajuda a interpretar a taxa de variação local, a direção ou o efeito marginal na situação original.

Lembre-se de que a demanda hicksiana mantém a utilidade ($u$) constante, não a renda. A função de despesa $e(\mathbf{p}, u)$ fornece o custo mínimo para atingir a utilidade $u$ aos preços $\mathbf{p}$. A derivada parcial $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ significa diferenciar $e$ em relação a $p_i$, tratando todos os outros preços e $u$ como constantes. Esta relação é conhecida como Lema de Shephard.