Regra do Produto

Core idea

Overview

A Regra do Produto é uma fórmula fundamental de diferenciação usada para encontrar a derivada de uma função que é o produto de duas ou mais funções diferenciáveis. Ela estabelece que a derivada de um produto não é simplesmente o produto das derivadas individuais, mas uma combinação específica das funções originais e suas respectivas taxas de variação.

When to use: Aplique esta regra quando encontrar uma função composta por duas subfunções multiplicadas, como produtos algébricos, trigonométricos ou exponenciais. É necessária quando ambos os fatores no produto são funções não-constantes da mesma variável independente.

Why it matters: Esta regra é essencial para calcular taxas de variação em sistemas com variáveis interagentes, como calcular a potência em um circuito elétrico (tensão vezes corrente) ou o crescimento da receita econômica (preço vezes quantidade). Ela serve como base para o método de integração por partes no cálculo integral.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivação da Regra do Produto

A regra do produto diferencia o produto de duas funções u(x) e v(x). Ela é derivada dos primeiros princípios adicionando e subtraindo um termo conveniente.

u(x) e v(x) são diferenciáveis.
Os limites relevantes existem.

1

Comece com os Primeiros Princípios:

Aplique a definição de derivada a $f (x) = u (x) v (x)$ .

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

Adicione e Subtraia u(x+h)v(x):

Isso muda a forma da expressão sem alterar seu valor.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

Agrupe e Fatore:

Divida em dois quocientes de diferença e fatore os termos comuns.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

Tome o Limite:

Quando $h \to 0$ , $u (x + h) \to u (x)$ e os quocientes se tornam derivadas.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

Isolar u

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

Isole $u$ subtraindo o termo $v \frac{d u}{d x}$ e dividindo por $\frac{d v}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

Isolar v

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

Isole $v$ subtraindo o termo $u \frac{d v}{d x}$ e dividindo por $\frac{d u}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

Isolar du/dx

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

Isole $\frac{d u}{d x}$ subtraindo o termo $u \frac{d v}{d x}$ e dividindo por $v$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

Isolar dv/dx

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

Isole $\frac{d v}{d x}$ subtraindo o termo $v \frac{d u}{d x}$ e dividindo por $u$ .

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagine um retângulo cujos comprimentos dos lados são funções de uma variável independente; a taxa de variação de sua área é a soma da taxa na qual sua largura varia (escalada por sua altura atual)

Term

A taxa instantânea de variação do produto de duas funções, u e v, em relação à variável independente x.

O quão rapidamente a quantidade total representada pelo produto u*v está aumentando ou diminuindo à medida que x varia.

Term

O valor da primeira função em um ponto específico x.

O 'tamanho' ou 'contribuição' atual do primeiro fator para o produto.

Term

O valor da segunda função em um ponto específico x.

O 'tamanho' ou 'contribuição' atual do segundo fator para o produto.

Term

A taxa instantânea de variação da primeira função u em relação a x.

Quão rapidamente o primeiro fator u está mudando à medida que x muda, independentemente de v.

Term

A taxa instantânea de variação da segunda função v em relação a x.

Quão rapidamente o segundo fator v está mudando à medida que x muda, independentemente de u.

Signs and relationships

+: A taxa total de variação do produto é a soma de duas contribuições distintas: a taxa de variação de v escalada por u, e a taxa de variação de u escalada por v.

Free study cues

Insight

Canonical usage

The Product Rule ensures dimensional consistency when differentiating a function that is the product of two other functions, where the units of the derivative are the units of the product of the functions divided by the unit of the independent variable.

One free problem

Practice Problem

Uma função é definida como o produto de duas subfunções u e v. Se u = 5 e v = 10, com suas respectivas derivadas sendo du = 2 e dv = 4, calcule a derivada total dy.

Hint: Substitua os valores na fórmula: dy = (u × dv) + (v × du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de dampened harmonic motion (e^-x * sinx), Product Rule é utilizado para calcular Gradient from Function u, Derivative v', and Function v. O resultado importa porque ajuda a conectar o cálculo com a forma, a taxa, a probabilidade ou a restrição no modelo.

Study smarter

Tips

Rotule explicitamente u e v antes de diferenciar.
Calcule du e dv separadamente para evitar erros algébricos.
Lembre-se de que a ordem dos dois termos somados não importa.
Use parênteses ao substituir expressões para manter os sinais corretos.

Avoid these traps

Common Mistakes

Apenas multiplicar derivadas (u'v').
Erros de sinal.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

A regra do produto diferencia o produto de duas funções u(x) e v(x). Ela é derivada dos primeiros princípios adicionando e subtraindo um termo conveniente.

Aplique esta regra quando encontrar uma função composta por duas subfunções multiplicadas, como produtos algébricos, trigonométricos ou exponenciais. É necessária quando ambos os fatores no produto são funções não-constantes da mesma variável independente.

Esta regra é essencial para calcular taxas de variação em sistemas com variáveis interagentes, como calcular a potência em um circuito elétrico (tensão vezes corrente) ou o crescimento da receita econômica (preço vezes quantidade). Ela serve como base para o método de integração por partes no cálculo integral.

Apenas multiplicar derivadas (u'v'). Erros de sinal.

No caso de dampened harmonic motion (e^-x * sinx), Product Rule é utilizado para calcular Gradient from Function u, Derivative v', and Function v. O resultado importa porque ajuda a conectar o cálculo com a forma, a taxa, a probabilidade ou a restrição no modelo.

Rotule explicitamente u e v antes de diferenciar. Calcule du e dv separadamente para evitar erros algébricos. Lembre-se de que a ordem dos dois termos somados não importa. Use parênteses ao substituir expressões para manter os sinais corretos.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Comece com os Primeiros Princípios:

Adicione e Subtraia u(x+h)v(x):

Agrupe e Fatore:

Tome o Limite:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources