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Teorema de Green

Relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região que ela envolve.

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\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

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Core idea

Overview

O Teorema de Green estabelece uma conexão fundamental entre a integral de linha ao longo de uma curva fechada simples e a integral dupla sobre a região plana que ela envolve. É essencialmente uma versão bidimensional do Teorema de Stokes e é usado para relacionar a rotação ou circulação local em um campo vetorial ao rotacional líquido sobre uma área.

When to use: Aplique este teorema ao avaliar uma integral de linha sobre uma curva fechada e suave por partes no plano xy, onde a integral de área do rotacional é mais fácil de computar. Requer que as funções componentes L e M tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em toda a região delimitada pela curva.

Why it matters: É essencial para calcular trabalho e circulação em física e dinâmica de fluidos sem a necessidade de parametrizar caminhos de contorno complexos individualmente. Também fornece uma base matemática para usar integrais de linha para calcular a área de formas irregulares, que é o princípio operacional por trás do planímetro.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

Prova do Teorema de Green para uma Região Simples

Provamos o Teorema de Green para uma região simples do tipo I e tipo II avaliando a integral de linha sobre o contorno e mostrando que ela é igual à integral dupla das derivadas parciais.

C é uma curva fechada simples, orientada positivamente e suave por partes.
P(x,y) e Q(x,y) possuem derivadas parciais contínuas em uma região aberta contendo D.

1. Decomponha a Integral

Podemos provar o teorema em duas partes independentes: mostrando que $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ e $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ .

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. Configurando a Integral de Área para L

Assuma que a região $D$ é delimitada por $y = g_{1} (x)$ na parte inferior e $y = g_{2} (x)$ na parte superior, entre $x = a$ e $x = b$ .

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo

Integrar a derivada parcial $\frac{\partial L}{\partial y}$ com respeito a $y$ simplesmente produz a função $L$ avaliada nos limites superior e inferior.

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. Relacionando com a Integral de Linha

A integral de linha ao longo do caminho inferior $g_{1}$ vai de $a$ a $b$ , enquanto o caminho superior $g_{2}$ vai para trás de $b$ a $a$ (para manter a orientação anti-horária). Inverter os limites da integral superior muda seu sinal.

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. Conclusão

Combinar os dois resultados derivados via lógica idêntica aplicada aos eixos $x$ e $y$ produz o enunciado final do Teorema de Green.

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

Isolar oint P dx + Q dy

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

Este rearranjo demonstra variações notacionais comuns do Teorema de Green, transformando a forma inicial usando $L$ e $M$ em uma forma mais compacta usando $P$ , $Q$ e notação subscrita para derivadas parciais.

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

Imagine uma região no plano preenchida com um fluido em movimento; o Teorema de Green afirma que a rotação líquida total do fluido dentro de toda a região é exatamente igual ao fluxo líquido do fluido ao longo de seu contorno externo.

Term

A circulação total do campo vetorial 2D F = <L, M> ao redor da curva fechada simples C.

Mede o 'empurrão' ou 'fluxo' líquido do campo vetorial ao longo do contorno C. Imagine uma pequena roda de pás na curva; este termo quantifica sua rotação líquida ao percorrer todo o contorno.

Term

A componente z do rotacional 2D do campo vetorial F = <L, M>, representando a densidade de circulação infinitesimal num ponto.

Quantifica a 'rotação local' ou 'turbilhonamento' do campo vetorial num ponto infinitesimalmente pequeno dentro da região. Um valor positivo geralmente indica rotação anti-horária.

Term

A soma total de todas as circulações infinitesimais (rotacional) sobre toda a região D delimitada por C.

Agrega todos os pequenos 'turbilhões' ou 'rotações' que ocorrem em cada ponto dentro da região D para obter uma medida total da rotação interna.

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): Esta diferença específica define o rotacional escalar (ou componente z do rotacional 2D) do campo vetorial F = <L, M>. A ordem da subtração é crucial e corresponde à orientação anti-horária da circulação

Free study cues

Insight

Canonical usage

Usada para relacionar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada, onde ambos os lados da equação devem manter dimensões físicas consistentes determinadas pela natureza do vetor

One free problem

Practice Problem

Avalie a integral de linha ∮_C (y² dx + x² dy) onde C é o limite do retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, orientado no sentido anti-horário.

Hint: Converta a integral de linha em uma integral dupla da expressão (∂M/∂x − ∂L/∂y) sobre a região retangular.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de work done by a force field, Green's Theorem é utilizado para calcular Concept-only dos valores medidos. O resultado importa porque ajuda a converter uma quantidade variável em um total como área, distância, volume, trabalho ou custo.

Study smarter

Tips

Garanta que a curva seja fechada e orientada no sentido anti-horário para um resultado positivo.
Verifique se as funções do campo vetorial são contínuas em toda a região envolvida pela curva.
Use a identidade em que a área é igual à integral de linha de x dy ou -y dx para simplificar problemas de área.
Verifique se a região é simplesmente conexa antes de aplicar a forma padrão do teorema.

Avoid these traps

Common Mistakes

Usar para curvas abertas.
Sinal errado (orientação no sentido horário).

Common questions

Frequently Asked Questions

Provamos o Teorema de Green para uma região simples do tipo I e tipo II avaliando a integral de linha sobre o contorno e mostrando que ela é igual à integral dupla das derivadas parciais.

Aplique este teorema ao avaliar uma integral de linha sobre uma curva fechada e suave por partes no plano xy, onde a integral de área do rotacional é mais fácil de computar. Requer que as funções componentes L e M tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas em toda a região delimitada pela curva.

É essencial para calcular trabalho e circulação em física e dinâmica de fluidos sem a necessidade de parametrizar caminhos de contorno complexos individualmente. Também fornece uma base matemática para usar integrais de linha para calcular a área de formas irregulares, que é o princípio operacional por trás do planímetro.

Usar para curvas abertas. Sinal errado (orientação no sentido horário).

Garanta que a curva seja fechada e orientada no sentido anti-horário para um resultado positivo. Verifique se as funções do campo vetorial são contínuas em toda a região envolvida pela curva. Use a identidade em que a área é igual à integral de linha de x dy ou -y dx para simplificar problemas de área. Verifique se a região é simplesmente conexa antes de aplicar a forma padrão do teorema.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem

Teorema de Green

Overview

Variables

Derivation

1. Decomponha a Integral

2. Configurando a Integral de Área para L

3. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo

4. Relacionando com a Integral de Linha

5. Conclusão

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Divergence Theorem

Curl (concept)

Frequently Asked Questions

Sources