EconomicsCrescimento EndógenoUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

Modelo de Crescimento AK

Calcula a taxa de crescimento de longo prazo do produto per capita em um modelo AK.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

g = A δ - n

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

O modelo de crescimento AK é um modelo fundamental na teoria do crescimento endógeno, explicando o crescimento econômico sustentado sem depender do progresso tecnológico exógeno. Ele postula que a função de produção agregada exibe retornos constantes de escala ao capital, implicando que a acumulação de capital sozinha pode impulsionar o crescimento de longo prazo. Esta fórmula determina a taxa de crescimento per capita com base no nível de tecnologia, na produtividade do capital e no crescimento populacional.

When to use: Aplique esta equação ao analisar o crescimento econômico de longo prazo em modelos onde a acumulação de capital não enfrenta retornos decrescentes. É particularmente relevante para entender como as intervenções políticas que afetam a tecnologia (A) ou a produtividade do capital ($\delta$) podem influenciar as taxas de crescimento sustentado, ou como o crescimento populacional (n) impacta o crescimento per capita.

Why it matters: O modelo AK é crucial porque fornece uma explicação endógena para o crescimento econômico, diferentemente de modelos anteriores (por exemplo, Solow-Swan) que dependiam do progresso tecnológico exógeno. Ele destaca a importância do capital humano, P&D e infraestrutura para fomentar o desenvolvimento sustentado, influenciando os debates políticos sobre inovação e investimento.

Symbols

Variables

A = Technology Level, $δ$ = Capital Share/Productivity, n = Population Growth Rate, g = Growth Rate of Output per Capita

A

Technology Level

dimensionless

δ

Capital Share/Productivity

dimensionless

n

Population Growth Rate

% / year

g

Growth Rate of Output per Capita

% / year

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Modelo de Crescimento AK

O modelo de crescimento AK descreve a taxa de crescimento econômico de longo prazo como uma função da tecnologia, da produtividade do capital e do crescimento populacional, assumindo retornos constantes ao capital.

A função de produção agregada é linear em capital: $Y = A K$ , onde $Y$ é o produto, $A$ é um parâmetro tecnológico constante e $K$ é o capital.
Não há retornos decrescentes ao capital, permitindo crescimento sustentado.
Uma fração constante do produto é poupada e investida: $I = s Y$ , onde $s$ é a taxa de poupança.
O capital deprecia a uma taxa constante $δ_{K}$ .
A população cresce a uma taxa constante $n$ .

Começar com a Equação de Acumulação de Capital:

A mudança no estoque de capital ( $\dot{K}$ ) é igual ao investimento ( $s Y$ ) menos a depreciação do capital ( $δ_{K} K$ ). Aqui, $δ_{K}$ é a taxa de depreciação do capital.

\dot{K} = s Y - δ_{K} K

Substituir a Função de Produção AK:

Substituir $Y$ por $A K$ da função de produção AK. Isso destaca os retornos constantes ao capital.

\dot{K} = s (A K) - δ_{K} K

Expressar em Termos da Taxa de Crescimento do Capital:

Dividir ambos os lados por $K$ para obter a taxa de crescimento do estoque total de capital. Isso mostra que a taxa de crescimento do capital é constante.

\frac{K ˙}{K} = s A - δ_{K}

Derivar a Taxa de Crescimento do Produto Per Capita:

A taxa de crescimento do produto per capita ( $g$ ) é aproximadamente a taxa de crescimento do capital per capita ( $\dot{k} / k$ ), que é a taxa de crescimento do capital total ( $\dot{K} / K$ ) menos a taxa de crescimento populacional ( $n$ ).

g = \frac{y ˙}{y} = \frac{k ˙}{k} = \frac{K ˙}{K} - n

Note: No modelo AK, o produto per capita ( $y$ ) e o capital per capita ( $k$ ) crescem na mesma taxa porque $y = A k$ .

Fórmula Final da Taxa de Crescimento AK:

Substituir a taxa de crescimento do capital na equação da taxa de crescimento per capita. Para simplificação, o termo $s A - δ_{K}$ é frequentemente agregado em um único parâmetro, digamos $A_{e f f}$ , ou a participação do capital $δ$ na fórmula da questão é implicitamente $s A - δ_{K}$ . Se interpretarmos $A δ$ como o retorno efetivo ao capital após depreciação, então $g = A δ - n$ é a forma final.

g = s A - δ_{K} - n

Result

g = s A - δ_{K} - n

Source: Romer, D. - Advanced Macroeconomics, Chapter 2 (Endogenous Growth Theory)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $A$

Modelo de Crescimento AK: Isolar A

A = \frac{g + n}{δ}

Para tornar $A$ (Nível de Tecnologia) o tema da fórmula do Modelo de Crescimento AK, adicione a taxa de crescimento populacional ( $n$ ) à taxa de crescimento per capita ( $g$ ) e depois divida pela parcela de capital ( $δ$ ).

Difficulty: 2/5

Solve for $δ$

Modelo de Crescimento AK: Torne $δ$ o sujeito

δ = \frac{g + n}{A}

Para tornar $δ$ (participação de capital/produtividade) o tema da fórmula do modelo de crescimento AK, adicione a taxa de crescimento populacional ( $n$ ) à taxa de crescimento per capita ( $g$ ) e depois divida pelo nível de tecnologia ( $A$ ).

Difficulty: 2/5

Solve for $n$

Modelo de Crescimento AK: Isolar n

n = A δ - g

Para tornar $n$ (Taxa de Crescimento Populacional) o assunto da fórmula do Modelo de Crescimento AK, subtraia a taxa de crescimento per capita ( $g$ ) do produto do nível de tecnologia ( $A$ ) e participação de capital ( $δ$ ).

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

O gráfico é uma função linear com inclinação positiva, o que significa que a taxa de crescimento do produto per capita aumenta a uma taxa constante conforme o nível tecnológico melhora. Para um estudante de economia, essa relação implica que mesmo pequenas melhorias na tecnologia levam a ganhos proporcionais e previsíveis no crescimento de longo prazo, independentemente de o nível tecnológico inicial ser alto ou baixo. A característica mais importante desta curva é sua inclinação constante, que demonstra que o impacto do progresso tecnológico no crescimento econômico permanece uniforme em todos os níveis de desenvolvimento.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Um ciclo auto-reforçador onde investimentos em capital (amplamente definido para incluir capital humano e tecnologia) geram continuamente retornos sem diminuir, impulsionando o produto per capita para cima.

Term

A taxa de crescimento de longo prazo do produto per capita.

Quão rápido o produto ou a renda média das pessoas aumenta ao longo do tempo.

Term

O nível de tecnologia ou produtividade total dos fatores na economia.

Um 'A' maior significa que a economia pode produzir mais com uma dada quantidade de capital, refletindo melhor conhecimento, inovação ou eficiência.

Term

Um parâmetro que representa a produtividade do capital ou o retorno constante sobre o investimento de capital dentro do modelo AK.

O quão efetivamente cada unidade de capital contribui para o produto. Um '

δ

' maior significa que o capital é mais produtivo.

Term

A taxa constante de crescimento populacional.

Quão rápido o número de pessoas na economia está aumentando.

Signs and relationships

A δ: Este produto representa a contribuição da acumulação de capital e da tecnologia para a taxa de crescimento agregada do produto. Tanto a tecnologia mais alta (A) quanto o capital mais produtivo ( $δ$ )
- n: O crescimento populacional dilui o produto total entre mais indivíduos. Para manter ou aumentar o produto per capita, a economia agregada deve crescer mais rápido que a população; caso contrário, o produto per capita diminui.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Todos os termos da equação representam taxas e devem ter unidades consistentes de inverso de tempo (por exemplo, por ano) e ser usados em forma decimal nos cálculos.

One free problem

Practice Problem

Uma economia seguindo o modelo de crescimento AK tem um nível de tecnologia (A) de 0,3, uma participação de capital na produção ( $δ$ ) de 0,2 e uma taxa de crescimento populacional (n) de 0,01. Calcule a taxa de crescimento do produto per capita (g).

Hint: Substitua os valores diretamente na fórmula g = A $δ$ - n.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Análise de como os investimentos em educação e P&D (que aumentam 'A' ou '$\delta$') podem levar ao crescimento econômico sustentado em países em desenvolvimento.

Study smarter

Tips

Certifique-se de que 'A' (nível de tecnologia) e ' $δ$ ' (participação/produtividade do capital) sejam positivos.
Um 'A' ou ' $δ$ ' maior leva a uma taxa de crescimento mais alta.
Um 'n' (crescimento populacional) mais alto reduz a taxa de crescimento per capita.
O modelo assume retornos constantes de escala ao capital, uma partida chave dos modelos neoclássicos.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir o modelo AK com o modelo de Solow-Swan, especialmente em relação aos retornos ao capital.
Interpretar incorretamente 'A' como produtividade total dos fatores sem considerar seu papel mais amplo no crescimento endógeno.

Common questions

Frequently Asked Questions

Aplique esta equação ao analisar o crescimento econômico de longo prazo em modelos onde a acumulação de capital não enfrenta retornos decrescentes. É particularmente relevante para entender como as intervenções políticas que afetam a tecnologia (A) ou a produtividade do capital ($\delta$) podem influenciar as taxas de crescimento sustentado, ou como o crescimento populacional (n) impacta o crescimento per capita.

O modelo AK é crucial porque fornece uma explicação endógena para o crescimento econômico, diferentemente de modelos anteriores (por exemplo, Solow-Swan) que dependiam do progresso tecnológico exógeno. Ele destaca a importância do capital humano, P&D e infraestrutura para fomentar o desenvolvimento sustentado, influenciando os debates políticos sobre inovação e investimento.

Confundir o modelo AK com o modelo de Solow-Swan, especialmente em relação aos retornos ao capital. Interpretar incorretamente 'A' como produtividade total dos fatores sem considerar seu papel mais amplo no crescimento endógeno.

Análise de como os investimentos em educação e P&D (que aumentam 'A' ou '$\delta$') podem levar ao crescimento econômico sustentado em países em desenvolvimento.

Certifique-se de que 'A' (nível de tecnologia) e '$\delta$' (participação/produtividade do capital) sejam positivos. Um 'A' ou '$\delta$' maior leva a uma taxa de crescimento mais alta. Um 'n' (crescimento populacional) mais alto reduz a taxa de crescimento per capita. O modelo assume retornos constantes de escala ao capital, uma partida chave dos modelos neoclássicos.

References

Sources

Economic Growth by David Romer, 4th Edition, W. W. Norton & Company
Macroeconomics by N. Gregory Mankiw, 10th Edition, Worth Publishers
Wikipedia: AK model
Romer, David. Advanced Macroeconomics. 5th ed. McGraw-Hill, 2018.
Mankiw, N. Gregory. Macroeconomics. 10th ed. Worth Publishers, 2019.
Barro, Robert J. Macroeconomics: A Modern Approach. 2nd ed. South-Western Cengage Learning, 2008.
Romer, D. - Advanced Macroeconomics, Chapter 2 (Endogenous Growth Theory)

Modelo de Crescimento AK

Overview

Variables

Derivation

Começar com a Equação de Acumulação de Capital:

Substituir a Função de Produção AK:

Expressar em Termos da Taxa de Crescimento do Capital:

Derivar a Taxa de Crescimento do Produto Per Capita:

Fórmula Final da Taxa de Crescimento AK:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Walras' Law

Frequently Asked Questions

Sources