Integral de Linha Vetorial Geral Calculator
Esta fórmula define a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva C parametrizada geral, representando quantidades como o trabalho realizado por uma força.
Formula first
Overview
A integral avalia o acúmulo de um campo vetorial ao longo de um caminho, tomando o produto escalar do campo com o vetor tangente da curva. Ao parametrizar a curva como r(t), o problema é reduzido a uma integral definida padrão em relação ao parâmetro t. Este método é fundamental para calcular fluxo, circulação e trabalho em campos conservativos ou não conservativos.
Symbols
Variables
F = Vector Field, r(t) = Parameterization
Apply it well
When To Use
When to use: Use esta fórmula quando precisar calcular o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho específico ou a circulação de um fluxo de fluido ao longo de uma curva.
Why it matters: Serve como base para conceitos físicos como transferência de energia, potencial elétrico e dinâmica de fluidos, conectando campos vetoriais locais a resultados globais dependentes do caminho.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Esquecer de multiplicar pela derivada da parametrização (r'(t)) dentro da integral.
- Não substituir as variáveis parametrizadas no campo vetorial F, deixando x, y e z como variáveis independentes.
One free problem
Practice Problem
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F = <y, x> ao longo da curva r(t) = <cos(t), sin(t)> para t de 0 a pi.
Hint: Calcule r'(t) = <-sin(t), cos(t)> e faça o produto escalar com F(r(t)) = <sin(t), cos(t)>.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.