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Comprimento de Arco (Paramétrico) Calculator

Calcular o comprimento de uma curva paramétrica.

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Result
Ready
Arc length

Formula first

Overview

A fórmula do comprimento de arco paramétrico calcula a distância total ao longo de um caminho onde as coordenadas são definidas como funções separadas de um parâmetro compartilhado, geralmente o tempo. Ela soma segmentos infinitesimais da curva integrando a magnitude do vetor velocidade sobre o intervalo especificado.

Symbols

Variables

R = Radius / speed, a = Start parameter a, b = End parameter b, L = Arc length

Radius / speed
Variable
Start parameter a
rad
End parameter b
rad
Arc length
Variable

Apply it well

When To Use

When to use: Aplique esta fórmula quando uma curva é definida por x(t) e y(t) em vez de uma relação direta entre x e y. É exigido que as derivadas dessas funções sejam contínuas e que o caminho não seja re-traçado durante o intervalo de integração.

Why it matters: Esta é uma ferramenta fundamental em física para calcular a distância total percorrida por objetos em movimento, como satélites ou projéteis. Na fabricação, ajuda a determinar o comprimento exato do material necessário para formar componentes curvos em projetos de engenharia.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Esquecer a raiz quadrada.
  • Integrar x(t) em vez das derivadas.

One free problem

Practice Problem

Uma partícula se move ao longo de uma trajetória circular definida por x = 5 cos(t) e y = 5 sin(t). Calcule a distância total percorrida pela partícula quando o parâmetro t varia de 0 a 2π.

Hint: A raiz quadrada da soma das derivadas ao quadrado simplifica para o raio do círculo.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
  2. Thomas, George B. Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
  3. Wikipedia: Arc length
  4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015.
  5. Halliday, David, Robert Resnick, and Jearl Walker. Fundamentals of Physics. 11th ed. Wiley, 2018.
  6. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
  7. Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. 14th ed., Pearson, 2018.
  8. Edexcel Further Mathematics — Core Pure (Calculus)