곱의 법칙

Core idea

Overview

곱의 법칙은 주요 입력값과 식의 관계를 정리하고 계산 결과의 의미를 해석하기 위한 설명입니다. 조건, 단위, 전제를 확인하면서 사용하면 결과를 비교, 판단, 추정, 위험 확인과 연결하기 쉽습니다. 필요하면 값을 바꾸어 결과가 어떻게 달라지는지도 확인하세요.

When to use: 곱의 법칙은 주어진 값에서 필요한 결과를 구해야 할 때 사용합니다. 입력 단위, 범위, 전제 조건을 확인한 뒤 대입하고, 계산 결과를 실제 조건이나 문제의 목적과 비교해 해석하세요.

Why it matters: 곱의 법칙의 결과는 수치를 비교하고 경향, 제약, 위험, 설계 판단을 설명하는 데 도움이 됩니다. 답을 단독 숫자로만 보지 말고 조건이 바뀔 때의 의미와 타당성도 함께 확인할 수 있습니다.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

곱셈 법칙의 유도

곱의 미분법은 두 함수 u(x)와 v(x)의 곱을 미분합니다. 이는 편리한 항을 더하고 빼는 방식으로 첫 번째 원리로부터 유도됩니다.

관련된 극한이 존재합니다.

1

첫 번째 원리로 시작합니다:

$f (x) = u (x) v (x)$ 에 미분 정의를 적용합니다.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

u(x+h)v(x)를 더하고 뺍니다:

이것은 표현식의 값을 바꾸지 않고 형태를 변경합니다.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

그룹화하고 인수분해합니다:

두 개의 차분몫으로 나누고 공통 항을 인수분해합니다.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

극한을 취합니다:

$h \to 0$ 일 때, $u (x + h) \to u (x)$ 가 되고 차분몫은 도함수가 됩니다.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

u를 주제로 만들기

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

$v \frac{d u}{d x}$ 항을 빼고 $\frac{d v}{d x}$ 으로 나누어 $u$ 을 분리하세요.

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

v를 주제로 만들기

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

$u \frac{d v}{d x}$ 항을 빼고 $\frac{d u}{d x}$ 으로 나누어 $v$ 을 분리하세요.

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

du/dx에 대해 정리하기

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

$u \frac{d v}{d x}$ 항을 빼고 $v$ 으로 나누어 $\frac{d u}{d x}$ 을 분리합니다.

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

dv/dx에 대해 정리하기

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

$v \frac{d u}{d x}$ 항을 빼고 $u$ 으로 나누어 $\frac{d v}{d x}$ 을 분리합니다.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

독립 변수의 함수인 변의 길이를 가진 직사각형을 상상해보세요; 넓이의 변화율은 너비가 변하는 비율(현재 높이로 스케일링됨)의 합입니다.

dy/dx

독립 변수 x에 대한 두 함수 u와 v의 곱의 순간 변화율.

x가 변함에 따라 곱 u*v로 나타낸 전체 양이 얼마나 빠르게 증가하거나 감소하는지.

u

특정 점 x에서 첫 번째 함수의 값.

첫 번째 인자의 현재 '크기' 또는 곱에 대한 기여도.

v

특정 점 x에서 두 번째 함수의 값.

두 번째 요소가 곱에 대한 현재 '크기' 또는 '기여도'.

du/dx

첫 번째 함수 u의 x에 대한 순간 변화율.

첫 번째 인수 u가 x가 변함에 따라 v와 무관하게 얼마나 빠르게 변화하는지.

dv/dx

두 번째 함수 v의 x에 대한 순간 변화율.

두 번째 인수 v가 x가 변함에 따라 u와 무관하게 얼마나 빠르게 변화하는지.

Signs and relationships

+: 곱의 총 변화율은 두 가지 서로 다른 기여의 합입니다: v의 변화율에 u를 곱한 값과 u의 변화율에 v를 곱한 값.

Free study cues

Insight

Canonical usage

곱의 법칙은 두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때 차원 일관성을 보장하며, 도함수의 단위는 두 함수 곱의 단위를 독립변수의 단위로 나눈 것입니다.

One free problem

Practice Problem

다음 조건을 사용해 곱의 법칙을(를) 구하세요. 필요한 값을 식에 대입하고 단위와 자릿수를 확인해 답하세요. 조건: 5, 10, 2, 4.

Hint: 곱의 법칙의 식에 알려진 값을 대입하고 단위, 부호, 분자와 분모의 대응을 확인하면서 계산하세요. 문제에서 주어진 조건을 먼저 정리하면 더 쉽게 풀 수 있습니다.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

곱의 법칙은 실무, 학습, 분석 상황에서 구체적인 값을 대입해 결과를 확인할 때 사용할 수 있습니다. 계산 결과를 단순한 숫자로만 보지 않고 조건 비교, 판단, 추정, 위험 확인과 연결해 해석하는 데 도움이 됩니다. 관련 기호: e^-x.

Study smarter

Tips

미분하기 전에 u와 v를 명확히 표시하세요.
대수 오류를 피하기 위해 du와 dv를 따로 계산하세요.
더해지는 두 항의 순서는 중요하지 않다는 점을 기억하세요.
식을 대입할 때는 부호를 올바르게 유지하기 위해 괄호를 사용하세요.

Avoid these traps

Common Mistakes

도함수만 곱하는 것(u'v').
부호 오류.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

곱의 미분법은 두 함수 u(x)와 v(x)의 곱을 미분합니다. 이는 편리한 항을 더하고 빼는 방식으로 첫 번째 원리로부터 유도됩니다.

곱의 법칙은 주어진 값에서 필요한 결과를 구해야 할 때 사용합니다. 입력 단위, 범위, 전제 조건을 확인한 뒤 대입하고, 계산 결과를 실제 조건이나 문제의 목적과 비교해 해석하세요.

곱의 법칙의 결과는 수치를 비교하고 경향, 제약, 위험, 설계 판단을 설명하는 데 도움이 됩니다. 답을 단독 숫자로만 보지 말고 조건이 바뀔 때의 의미와 타당성도 함께 확인할 수 있습니다.

도함수만 곱하는 것(u'v'). 부호 오류.

곱의 법칙은 실무, 학습, 분석 상황에서 구체적인 값을 대입해 결과를 확인할 때 사용할 수 있습니다. 계산 결과를 단순한 숫자로만 보지 않고 조건 비교, 판단, 추정, 위험 확인과 연결해 해석하는 데 도움이 됩니다. 관련 기호: e^-x.

미분하기 전에 u와 v를 명확히 표시하세요. 대수 오류를 피하기 위해 du와 dv를 따로 계산하세요. 더해지는 두 항의 순서는 중요하지 않다는 점을 기억하세요. 식을 대입할 때는 부호를 올바르게 유지하기 위해 괄호를 사용하세요.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

첫 번째 원리로 시작합니다:

u(x+h)v(x)를 더하고 뺍니다:

그룹화하고 인수분해합니다:

극한을 취합니다:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources