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지출 함수

특정 가격에서 주어진 효용 수준을 달성하는 데 필요한 최소 지출을 결정합니다.

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e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

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Core idea

Overview

$e(\mathbf{p}, u)$으로 표시되는 지출 함수는 미시경제학의 기본 개념으로, 상품 가격 벡터($\mathbf{p}$)가 주어졌을 때 특정 효용 수준($u$)을 달성하는 최소 비용을 나타냅니다. 이는 소비자의 효용 극대화 문제에서 도출되며, 소비자 행동, 후생 분석, 효용 극대화와 지출 최소화 간의 이중성을 이해하는 데 중요합니다. *이 계산기의 목적상, 기본 효용 함수와 소비 묶음은 가격, 효용 및 지출의 직접적인 대수적 조작을 허용하도록 단순화되었습니다.*

When to use: 이 함수는 시장 가격이 주어졌을 때 목표 효용 수준에 도달하는 최저 비용을 계산해야 할 때 적용합니다. 이는 후생 경제학에서 생활비, 보상 변동 및 등가 변동을 측정하거나 최적의 보조금 프로그램을 설계하는 데 특히 유용합니다.

Why it matters: 지출 함수는 후생 분석의 핵심으로, 경제학자들이 효용이나 가격 변화의 금전적 가치를 수량화할 수 있게 합니다. 이는 힉스(보상) 수요 함수의 도출을 뒷받침하며, 소비자가 소득 효과에 혼동되지 않고 가격 변화 속에서 일정한 생활 수준을 유지하기 위해 지출을 어떻게 조정하는지 이해하는 강력한 도구를 제공합니다.

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

p

Price (simplified)

u

Utility Level

utils

x

Quantity (simplified)

units

U

Utility Function (simplified)

function

e

Minimum Expenditure

Walkthrough

Derivation

공식: 지출 함수

지출 함수는 주어진 가격에서 특정 효용 수준을 달성하는 데 필요한 최소 비용을 정의합니다.

소비자 선호는 합리적이고, 완전하며, 이행적이고, 연속적이며, 국소적으로 비포화적입니다.
효용 함수는 연속적이고 준오목합니다.
소비자는 목표 효용 수준을 달성하는 조건 하에 지출을 최소화하려고 합니다.

지출 최소화 문제 정의:

소비자는 효용 함수 $U (x)$ 로부터 최소한 목표 효용 수준 $u$ 을 달성하는 조건 하에 총 지출 $p \cdot x$ 을 최소화하는 소비 묶음 $x$ 을 선택합니다.

x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

라그랑주 함수 구성:

라그랑주 함수는 이 제약 조건부 최적화 문제를 해결하기 위해 설정되며, 여기서 $λ$ 은 효용 증가의 한계 비용을 나타내는 라그랑주 승수입니다.

L (x, λ) = p \cdot x - λ (U (x) - u)

1차 조건(FOCs):

1차 조건은 최적점에서 모든 재화에 걸쳐 한계효용과 가격의 비율이 동일하며, 라그랑주 승수의 역수(화폐의 한계효용)와 같음을 의미합니다.

\frac{\partial L}{\partial x _{i}} = p_{i} - λ \frac{\partial U}{\partial x _{i}} = 0 ⟹ p_{i} = λ M U_{i}

힉스 수요 함수 도출:

FOC를 풀면 힉스(또는 보상) 수요 함수가 도출되며, 이 함수는 각 재화의 수요량을 가격과 목표 효용 수준의 함수로 나타냅니다.

x^{*} = h (p, u)

지출 함수에 대입:

힉스 수요 함수를 지출 목적 함수에 다시 대입하여 가격 $p$ 에서 효용 $u$ 을 달성하는 데 필요한 최소 지출을 구합니다.

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Result

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

각 점이 재화 조합을 나타내고 높이가 총 비용을 나타내는 다차원 표면을 시각화하세요. 지출 함수는 이 비용 표면에서 여전히 그 위에 있는 가장 낮은 점을 찾습니다.

e (p, u)

특정 효용 수준을 달성하는 데 필요한 최소 총 지출.

현재 시장 가격 하에서 원하는 만족 수준에 도달하는 가장 저렴한 방법을 알려줍니다.

p

모든 이용 가능한 재화의 시장 가격을 나타내는 벡터.

How much each individual item costs.

u

소비자가 달성하고자 하는 특정 목표 효용 또는 만족 수준.

원하는 '행복' 또는 웰빙의 양.

x

소비된 다양한 재화의 수량을 나타내는 벡터.

소비자가 구매하는 특정 재화 바구니.

p \cdot x

소비 바구니 \mathbf{x}의 총 금전적 비용으로, 모든 재화에 대해 (재화 i의 가격 * 재화 i의 수량)의 합으로 계산됩니다.

특정 구매 내역에 대한 계산대에서의 총 청구 금액.

U (x)

특정 재화 묶음 \mathbf{x}을 소비함으로써 얻는 총 만족도나 웰빙을 정량화하는 효용 함수.

특정 쇼핑 바구니에서 얻는 만족도의 정도.

min_{x}

최적 소비 묶음 \mathbf{x}을 선택하여 목적 함수(총 지출)의 가능한 최소값을 찾는 수학적 연산.

당신은 자신의 필요를 충족시키기 위해 절대적으로 가장 저렴한 방법을 적극적으로 찾고 있습니다.

U (x) \geq u

선택한 소비 묶음 \mathbf{x}가 최소한 목표 효용 수준 u를 제공하도록 보장하는 제약 조건.

구매에서 얻는 만족감은 원하는 행복 수준 이상이어야 합니다.

Free study cues

Insight

Canonical usage

지출과 가격은 일관된 화폐 단위로 표현되며, 효용은 일반적으로 서수적이고 단위가 없는 척도로 취급됩니다.

Dimension note

효용 수준(u)과 효용함수(U(x))의 출력은 일반적으로 무차원으로 간주되거나 임의 단위('utils')가 부여됩니다.

One free problem

Practice Problem

단순화된 지출 모델 $e = p \cdot u$ 을 사용하여, 한 재화의 단위당 가격이 $p = 12$ 이고 목표 효용 수준이 $u = 50$ 일 때 필요한 최소 지출은 얼마인가요?

Hint: 가격에 효용 수준을 곱합니다. 즉 $e = p \cdot u$ 를 사용하세요.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

정부에서 저소득 가구의 일정 생활 수준을 유지하는 비용을 계산하고 빈곤 완화 정책에 정보를 제공하는 데 사용됩니다.

Study smarter

Tips

지출 함수는 가격이 오를 때 감소하지 않으며, 효용이 높아질수록 증가합니다.
가격에 대해 오목하며, 소비자가 상대적으로 더 비싼 재화에서 다른 재화로 대체할 수 있음을 반영합니다.
셰퍼드 보조정리에 따르면 한 재화의 힉스 수요는 지출 함수를 그 재화의 가격으로 편미분한 값입니다.
지출 함수는 가격에 대해 1차 동차입니다. 모든 가격이 두 배가 되면 최소 지출도 두 배가 됩니다.

Avoid these traps

Common Mistakes

지출 함수와 간접 효용 함수를 혼동하는 것 (이들은 역함수 관계입니다).
함수를 도출하거나 적용할 때 특정 효용 함수를 잘못 가정하는 것.
'min' 연산자를 최적화 문제가 아닌 단순 대수 계산으로 오해하는 것.

Common questions

Frequently Asked Questions

지출 함수는 주어진 가격에서 특정 효용 수준을 달성하는 데 필요한 최소 비용을 정의합니다.

이 함수는 시장 가격이 주어졌을 때 목표 효용 수준에 도달하는 최저 비용을 계산해야 할 때 적용합니다. 이는 후생 경제학에서 생활비, 보상 변동 및 등가 변동을 측정하거나 최적의 보조금 프로그램을 설계하는 데 특히 유용합니다.

지출 함수는 후생 분석의 핵심으로, 경제학자들이 효용이나 가격 변화의 금전적 가치를 수량화할 수 있게 합니다. 이는 힉스(보상) 수요 함수의 도출을 뒷받침하며, 소비자가 소득 효과에 혼동되지 않고 가격 변화 속에서 일정한 생활 수준을 유지하기 위해 지출을 어떻게 조정하는지 이해하는 강력한 도구를 제공합니다.

지출 함수와 간접 효용 함수를 혼동하는 것 (이들은 역함수 관계입니다). 함수를 도출하거나 적용할 때 특정 효용 함수를 잘못 가정하는 것. 'min' 연산자를 최적화 문제가 아닌 단순 대수 계산으로 오해하는 것.