Engineering工学University

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

トレスカ降伏条件(最大せん断応力説)

最大せん断応力が単軸引張における降伏強度の半分に達したときに材料の降伏を予測する。

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

トレスカ降伏条件(最大せん断応力説)について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。関連する記号: \tau, \sigma, sigma_1, sigma_3, sigma_y, tau_{max}, $\sigma_1$, $\sigma_3$, $\sigma_y$, $\tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2 = \sigma_y/2$。

When to use: トレスカ降伏条件(最大せん断応力説)は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: トレスカ降伏条件(最大せん断応力説)の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

$τ_{ma x}$ = Maximum Shear Stress, $σ_{1}$ = Maximum Principal Stress, $σ_{3}$ = Minimum Principal Stress, $σ_{y}$ = Yield Strength (Uniaxial)

τ_{ma x}

Maximum Shear Stress

MPa

σ_{1}

Maximum Principal Stress

MPa

σ_{3}

Minimum Principal Stress

MPa

σ_{y}

Yield Strength (Uniaxial)

MPa

Walkthrough

Derivation

公式：トレスカ降伏条件

トレスカ降伏条件は、材料内の最大せん断応力がその一軸降伏強度の半分に達したときに降伏が発生することを述べている。

材料は延性である。
材料は等方性挙動を示す（特性はすべての方向で均一である）。
材料の圧縮降伏強度は引張降伏強度と等しい。

せん断応力のためのモールの円：

一般的な3次元応力状態の場合、最大せん断応力（ $τ_{ma x}$ ）は主平面に対して45度の平面で発生し、最大主応力（ $σ_{1}$ ）と最小主応力（ $σ_{3}$ ）の差の半分に等しい。これはモールの円解析からの基本的な結果である。

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}

一軸引張試験：

簡単な一軸引張試験を考えます。材料は応力 $σ_{y}$ で降伏します。この状態では、主応力は $σ_{1} = σ_{y}$ 、 $σ_{2} = 0$ 、 $σ_{3} = 0$ です。この状態にモールの円からの最大せん断応力の公式を適用すると、 $τ_{ma x, y i e l d} = \frac{σ _{y} - 0}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ が得られます。

σ_{1} = σ_{y}, σ_{2} = 0, σ_{3} = 0

トレスカ基準の定式化：

トレスカ基準は、任意の一般的な応力状態における降伏は、その状態での最大せん断応力 ( $τ_{ma x}$ ) が一軸降伏時に観測された同じ臨界値に達したときに発生すると仮定します。したがって、降伏条件は $\frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ です。

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Result

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Source: Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2012). Mechanics of Materials (6th ed.). McGraw-Hill. Chapter 8: Theories of Failure.

Visual intuition

Graph

グラフは正の傾きを持つ直線であり、最大主応力が増加するにつれて最大せん断応力が着実に増加することを示しています。工学の学生にとって、この線形関係は、最大主応力を2倍にすると最大せん断応力が比例して増加することを意味し、応力状態が材料の破壊に直接影響を与えることを強調しています。この曲線の最も重要な特徴は、変数間の一定の関係が応力の大きさに関係なく変わらず、降伏限界に向かって予測可能で一貫した移行を示すことです。

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Tresca基準は、最大モール円の半径（最大せん断応力を表す）が材料降伏が発生するときとして可視化する。

τ_{ma x}

材料内部で生じる最大せん断応力

これは内部に作用する単位面積あたりの最大の「切断」または「滑り」力です。これが臨界値を超えると、材料は降伏します。

σ_{1}

最大主応力

せん断応力がゼロの面に作用する最大の垂直応力（引張または圧縮）です。材料内で最も極端な引っ張りまたは押し込み力を表します。

σ_{3}

最小主応力

せん断応力がゼロの面に作用する最小の垂直応力（引張または圧縮）です。材料内で最も極端でない引っ張りまたは押し込み力を表します。

σ_{y}

一軸引張試験による材料の降伏強度

材料が一方向に引っ張られたときに塑性変形（永久変形）を開始する応力レベルです。永久変形前の材料の強度限界の基準となります。

Signs and relationships

(\sigma_1 - \sigma_3): この差は、与えられた応力状態における最大のモール円の直径を表します。差が大きいほど、垂直応力の範囲が広く、直接的に大きい最大せん断応力に対応します。
/2: 最大主応力と最小主応力の差を2で割ると、最大のモール円の半径が得られます。これは正確に最大せん断応力です。

Free study cues

Insight

Canonical usage

Tresca 条件のすべての項は応力を表し、次元的同次性を維持するために一貫した単位面積あたりの力の単位で表されなければなりません。

Dimension note

この式は無次元ではありません。応力量同士の関係です。

Ballpark figures

Quantity:

Where it shows up

Real-World Context

ジェットコースターの車輪アセンブリを設計するエンジニアは、高G旋回中に鋼製車軸が永久変形しないことを確認しなければなりません。列車の重量と遠心力によって誘起される応力を計算し、車軸材料が弾性限界内に留まるようにします。

Study smarter

Tips

最大せん断応力を正確に計算するため、主応力（ $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ ）を正しく特定し、 $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ であることを確認してください。
Tresca 基準は一般に Von Mises 基準より保守的であり、より低い応力水準で降伏を予測することを意味します。
$σ_{y}$ は一軸引張試験から得られる降伏強度であることを覚えておいてください。
すべての応力値について単位が一貫していることを確認してください。

Common questions

Frequently Asked Questions

トレスカ降伏条件は、材料内の最大せん断応力がその一軸降伏強度の半分に達したときに降伏が発生することを述べている。

トレスカ降伏条件(最大せん断応力説)は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

トレスカ降伏条件(最大せん断応力説)の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

最大せん断応力を正確に計算するため、主応力（$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$）を正しく特定し、$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ であることを確認してください。 Tresca 基準は一般に Von Mises 基準より保守的であり、より低い応力水準で降伏を予測することを意味します。 $\sigma_y$ は一軸引張試験から得られる降伏強度であることを覚えておいてください。すべての応力値について単位が一貫していることを確認してください。

References

Sources

Mechanics of Materials by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, and David F. Mazurek
Mechanics of Materials by R. C. Hibbeler
Wikipedia: Tresca criterion
Shigley's Mechanical Engineering Design
Mechanics of Materials (Hibbeler)
Wikipedia: Tresca yield criterion
Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek
Fundamentals of Machine Component Design by Juvinall and Marshek