曲げ公式(曲げ応力)

Core idea

Overview

曲げ公式(曲げ応力)について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。

When to use: 曲げ公式(曲げ応力)は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: 曲げ公式(曲げ応力)の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

曲げ応力（曲げ応力）の導出

この導出は、幾何学的適合性（線形ひずみ）と構成則（フックの法則）を適用することにより、梁の内部曲げモーメントと内部垂直応力を関連付けます。

梁は初期状態で真っ直ぐで角柱状である。
材料は線形弾性、均質、等方性である。
平面断面は曲げ後も平面を保ち、長手軸に垂直である（ベルヌーイ・オイラーの仮説）。
梁は純曲げを受ける。

1

運動学的関係（ひずみ）

曲率半径 $ρ$ を仮定すると、縦ひずみ $ϵ_{x}$ は中立軸からの距離 $y$ に比例して変化する。

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: 負符号は、正の曲げ（上に凹）の場合、中立軸より上の繊維が圧縮状態にあることを示す。

2

構成則（フックの法則）

フックの法則（ $σ = E ϵ$ ）を適用することにより、応力は弾性係数 $E$ と曲率の関数として表される。

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: これは、材料が線形弾性範囲内にあることを仮定している。

3

モーメントのつり合い

内部モーメント $M$ は、断面積 $A$ 上の応力分布によって生成されるモーメントの積分である。

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: 積分 $\int y^{2} d A$ は断面二次モーメント $I$ として定義される。

4

モーメントと曲率の関係

積分を $I$ で置き換え、曲率項 $1/ ρ$ を作用モーメントで表すように解く。

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: 項 $E I$ は梁の曲げ剛性として知られている。

5

最終的な曲げの公式

曲率の式を応力の式に代入して最終的な公式を得る。

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: 常に単位が一貫していることを確認する（例：MPa に対して N/mm²）。

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

$σ$ を主変数にする

σ = - \frac{M y}{I}

この式は既に $σ$ を主語として表現されています。

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

Mについて解く

M = - \frac{σ I}{y}

両辺に I を掛け、負の y で割ることにより、曲げモーメント M を分離するように式を変形します。

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

Iを主語にする

I = - \frac{M y}{σ}

両辺に I を掛け、シグマで割ることにより、慣性モーメント I を求めるように式を変形します。

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

厚いゴム消しゴムを曲げることを想像してみてください。曲げると、外側は伸び（引張）、内側は圧縮されます。中立軸（中心面）は伸び縮みしません。方程式はこれを応力の線形な「傾斜」として表します。中心（y）から遠ざかるほど、材料は曲げに適合するために伸びたり縮んだりしなければならず、その傾斜の勾配はモーメント（M）と断面形状の抵抗（I）によって決まります。

s

曲げ応力

特定の位置における材料繊維に作用する単位面積あたりの内部の「押す」または「引く」力。

M

曲げモーメント

梁に加わる「ねじり」力。Mが大きいほど、引張と圧縮の間の内部的なせめぎ合いが激しくなる。

y

中立軸距離

「てこの腕」。無応力の中心線からどれだけ離れているかを示す。

I

断面二次モーメント

幾何学的な「剛性」。断面形状が中心から材料をどれだけ効率的に配置して曲げに抵抗するかを示す。

Signs and relationships

負号（－）: これは符号の約束です。正の曲げモーメント（上に凹の曲率を引き起こす）の場合、中立軸より上の点（正のy）では負の応力（圧縮）、下の点（負のy）では正の応力（引張）となることを保証します。

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、曲げ公式(曲げ応力)を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 5000, 4, 10, 10 cm。関連する記号: cm^4。

Hint: 曲げ公式(曲げ応力)の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。関連する記号: mm^2。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

曲げ公式(曲げ応力)は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

距離 'y' が断面の重心を通る中立軸から測定されていることを確認してください。
M、y、I の単位が一貫していること（通常は N、mm、mm^4）を確認してください。
最大応力は最外縁の繊維、つまり 'y' が最大となる位置で発生することを覚えておいてください。

Avoid these traps

Common Mistakes

曲げの特定軸に対して誤った断面二次モーメント(I)を使用すること。
外表面からの距離と中立軸からの距離を混同してしまうこと。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

この導出は、幾何学的適合性（線形ひずみ）と構成則（フックの法則）を適用することにより、梁の内部曲げモーメントと内部垂直応力を関連付けます。

曲げ公式(曲げ応力)は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

曲げ公式(曲げ応力)の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

曲げの特定軸に対して誤った断面二次モーメント(I)を使用すること。外表面からの距離と中立軸からの距離を混同してしまうこと。

曲げ公式(曲げ応力)は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

距離 'y' が断面の重心を通る中立軸から測定されていることを確認してください。 M、y、I の単位が一貫していること（通常は N、mm、mm^4）を確認してください。最大応力は最外縁の繊維、つまり 'y' が最大となる位置で発生することを覚えておいてください。

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

運動学的関係（ひずみ）

構成則（フックの法則）

モーメントのつり合い

モーメントと曲率の関係

最終的な曲げの公式

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Section Modulus

Frequently Asked Questions

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