Chain Rule

Core idea

Overview

微積分について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。

When to use: 微積分は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: 微積分の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Total Derivative, $\frac{d y}{d u}$ = Outer Derivative, $\frac{d u}{d x}$ = Inner Derivative

\frac{d y}{d x}

Total Derivative

Variable

\frac{d y}{d u}

Outer Derivative

Variable

\frac{d u}{d x}

Inner Derivative

Variable

Walkthrough

Derivation

連鎖律の理解

連鎖律は、外側の関数の導関数に内側の関数の導関数を掛けることで合成関数を微分します。

1

内部変数の導入:

内部関数を u と表して合成を2段階に分けます。

y = f (g (x)), let u = g (x) ⟹ y = f (u)

2

連鎖律の記述:

外側を u で微分し、次に u の x に関する導関数を掛けます。

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Note: 有用な直感として、x の変化が u に影響し、それが y に影響するため、全体の変化率が掛け合わされるということです。

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{d y}{d u}$

dydu を主語にする

d y d u = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

連鎖律の公式を変形して dydu を求める。

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

dudx について解く

d u d x = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d u}}

連鎖律の式を変形して dudx について解きます。

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

連鎖的な事象を想像してください。'x'の小さな変化が最初に'u'のスケールされた変化を引き起こし、次にその'u'の変化が'y'の別のスケールされた変化を引き起こします。'y'の'x'に対する全体の変化は、それらの局所的な感度の積です。

dy/dx

出力変数'y'が独立変数'x'の変化に対して変化する瞬間的な変化率。

'y'が'x'の変化にどれだけ敏感かを直接表し、全体的な変化率を示します。

dy/du

外側の関数の出力'y'がその直接の入力'u'の変化に対して変化する瞬間的な割合。

関数の「外側の層」が直接受け取る入力の変化に対してどれだけ敏感かを示します。

du/dx

中間関数の出力'u'がその入力'x'の変化に対して変化する瞬間的な割合。

関数の「内側の層」が自身の入力'x'の変化に対してどれだけ敏感かを示します。

Free study cues

Insight

Canonical usage

合成関数の導関数を計算する際に次元の整合性を確保するために使用され、外側の関数の導関数の単位に内側の関数の導関数の単位を掛けたものが一致する必要があります。

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、微積分を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 5, 4。手順として、まず問題文の既知量を一覧にし、同じ単位へそろえてから式を選びます。次に、代入と計算を分けて書き、最後に答えの符号、桁数、現実的な範囲を確認してください。

Hint: 微積分の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

微積分に関する計算は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

始める前に、「内側」の関数（u）と「外側」の関数（y）を明確に特定してください。
内側の層を変えずに外側の層を微分し、その後で内側の導関数を掛けてください。
入れ子の合成関数では、最も外側の層から最も内側の層へ体系的に進めてください。

Avoid these traps

Common Mistakes

内側の導関数を忘れること。
掛ける代わりに足すこと。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

連鎖律は、外側の関数の導関数に内側の関数の導関数を掛けることで合成関数を微分します。

微積分は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

微積分の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

内側の導関数を忘れること。掛ける代わりに足すこと。

微積分に関する計算は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

始める前に、「内側」の関数（u）と「外側」の関数（y）を明確に特定してください。内側の層を変えずに外側の層を微分し、その後で内側の導関数を掛けてください。入れ子の合成関数では、最も外側の層から最も内側の層へ体系的に進めてください。

References

Sources

Wikipedia: Chain rule
Calculus (8th ed.) by James Stewart
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Thomas' Calculus, 14th Edition, George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass
Calculus, 8th Edition, James Stewart
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

内部変数の導入:

連鎖律の記述:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integration by Substitution

Frequently Asked Questions

Sources