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Teorema della Convoluzione (Laplace)

Afferma che la trasformata di Laplace di una convoluzione di due funzioni è il prodotto delle loro trasformate individuali.

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Core idea

Overview

Questo teorema fornisce un metodo potente per trovare le trasformate inverse di Laplace di prodotti di funzioni utilizzando l'integrale di convoluzione.

When to use: Essenziale per risolvere equazioni differenziali non omogenee e analizzare sistemi lineari tempo-invarianti (LTI).

Why it matters: Converte l'operazione complessa di convoluzione nel dominio del tempo in una semplice moltiplicazione algebrica nel dominio della frequenza (s).

Symbols

Variables

F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)

F(s)G(s)
L{f * g}
Transform of the convolution
F(s)
F(s)
Transform of the first function
G(s)
G(s)
Transform of the second function

Walkthrough

Derivation

Derivazione/Comprensione del Teorema di Convoluzione (Laplace)

Questa derivazione dimostra che la trasformata di Laplace della convoluzione di due funzioni è equivalente al prodotto delle loro trasformate di Laplace individuali.

  • Le funzioni f(t) e g(t) sono a tratti continue su [0, ∞) e di ordine esponenziale.
  • Le trasformate di Laplace F(s) = ℬ{f(t)} e G(s) = ℬ{g(t)} esistono.
  • L'ordine di integrazione può essere scambiato (si applica il Teorema di Fubini).
1

Inizia con la definizione della trasformata di Laplace di una convoluzione:

Iniziamo applicando la definizione della trasformata di Laplace alla convoluzione di due funzioni, f(t) e g(t), che è essa stessa un integrale.

2

Cambia l'ordine di integrazione:

La regione di integrazione è 0 ≤ τ ≤ t < ∞. Cambiando l'ordine di integrazione, riscriviamo i limiti per integrare prima rispetto a t, poi τ.

3

Effettua una sostituzione nell'integrale interno:

Sia u = t - τ, quindi t = u + τ e dt = du. Questa sostituzione trasforma l'integrale interno in una forma che assomiglia a una trasformata di Laplace.

4

Riconosci le trasformate di Laplace:

L'integrale interno è la definizione di G(s) = ℬ{g(t)}. Mettendo in evidenza G(s) rimane la definizione di F(s) = ℬ{f(t)}, dimostrando così il teorema.

Result

Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for F(s)G(s)

Scegli F(s)G(s) come soggetto

Partiamo dal Teorema di Convoluzione (Laplace). L'espressione F(s)G(s) è già isolata, quindi il compito è identificarla come soggetto e presentarla nella notazione target.

Difficulty: 1/5

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Visual intuition

Graph

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

Questo teorema fornisce una potente prospettiva di 'trasformazione del dominio', dove un'operazione complessa come la convoluzione nel dominio del tempo viene semplificata in una semplice moltiplicazione algebrica nel dominio della frequenza

Term
Nel ruolo della prima voce (\mathcal{L}), l'operatore di trasformata di Laplace, che converte una funzione dal dominio del tempo (t) al dominio della frequenza complessa (s).
La prima voce () in Derivazione/Comprensione del Teorema di Convoluzione (Laplace) va letta come il dato che aggancia il testo al modello matematico: prima si decide se sia nota o cercata, poi si controlla come modifica scala, verso e interpretazione del risultato.
Term
Nel ruolo della seconda voce (f * g), l'integrale di convoluzione di due funzioni, f(t) e g(t). Descrive come la forma di una funzione modifica la forma di un'altra, rappresentando spesso l'uscita di un sistema lineare
Nella seconda voce (f * g) di Derivazione/Comprensione del Teorema di Convoluzione (Laplace), il punto pratico consiste nel seguire il passaggio dall'enunciato alla formula; questa quantita non e una lettera isolata, ma un contributo coerente con ipotesi e unita.
Term
Nel ruolo della terza voce (F(s)), la trasformata di Laplace della funzione f(t), rappresentante f(t) nel dominio della frequenza complessa.
Usa la terza voce (F(s)) in Derivazione/Comprensione del Teorema di Convoluzione (Laplace) per verificare quale parte del sistema sta cambiando. Se il suo valore aumenta o diminuisce, la relazione indica quale effetto attendersi sul calcolo finale.
Term
Nel ruolo della quarta voce (G(s)), la trasformata di Laplace della funzione g(t), rappresentante g(t) nel dominio della frequenza complessa.
Per la quarta voce (G(s)) dentro Derivazione/Comprensione del Teorema di Convoluzione (Laplace), separa significato fisico e manipolazione algebrica: il simbolo entra nella formula solo dopo aver chiarito contesto, misura e vincoli del problema.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Uso canonico: Ensures dimensional consistency between the Laplace transform of a convolution and the product of individual Laplace transforms, where the units of the Laplace variable 's' are inverse time.

One free problem

Practice Problem

Date le trasformate individuali F(s) = 4 e G(s) = 8, calcolare la trasformata di Laplace della convoluzione (f * g)(t).

Hint: Secondo il teorema, la trasformata della convoluzione è semplicemente il prodotto delle trasformate individuali.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Nell'elaborazione dei segnali, l'uscita di un sistema è la convoluzione del suo segnale di ingresso e della sua risposta all'impulso; questo teorema ci permette di trovare l'uscita utilizzando la moltiplicazione nel dominio s.

Study smarter

Tips

  • La convoluzione f * g è definita come l'integrale da 0 a t di f(τ)g(t-τ) dτ.
  • Ricorda che la convoluzione è commutativa, cioè f * g = g * f.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confondere la convoluzione f*g con il prodotto puntuale f(t)g(t).
  • Dimenticare che il teorema si applica solo se le trasformate F(s) e G(s) esistono per la stessa regione di convergenza.

Common questions

Frequently Asked Questions

Questa derivazione dimostra che la trasformata di Laplace della convoluzione di due funzioni è equivalente al prodotto delle loro trasformate di Laplace individuali.

Essenziale per risolvere equazioni differenziali non omogenee e analizzare sistemi lineari tempo-invarianti (LTI).

Converte l'operazione complessa di convoluzione nel dominio del tempo in una semplice moltiplicazione algebrica nel dominio della frequenza (s).

Confondere la convoluzione f*g con il prodotto puntuale f(t)g(t). Dimenticare che il teorema si applica solo se le trasformate F(s) e G(s) esistono per la stessa regione di convergenza.

Nell'elaborazione dei segnali, l'uscita di un sistema è la convoluzione del suo segnale di ingresso e della sua risposta all'impulso; questo teorema ci permette di trovare l'uscita utilizzando la moltiplicazione nel dominio s.

La convoluzione f * g è definita come l'integrale da 0 a t di f(τ)g(t-τ) dτ. Ricorda che la convoluzione è commutativa, cioè f * g = g * f.

References

Sources

  1. Advanced Engineering Mathematics
  2. Wikipedia: Laplace transform
  3. Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
  4. Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
  5. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
  6. Wikipedia: Convolution theorem
  7. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
  8. Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems