Teorema del Rango-Nullità Calculator

Formula first

Overview

Nel contesto di un'applicazione lineare T: V → W, dove V è di dimensione finita, questo teorema fornisce un vincolo fondamentale sulla relazione tra le dimensioni del nucleo e dell'immagine.

Symbols

Variables

$\dim$(V) = Dimension of Domain, $\text{rank}$(T) = Rank, $\text{nullity}$(T) = Nullity

Apply it well

When To Use

When to use: Questo teorema è lo strumento più fondamentale nell'algebra lineare undergraduate per determinare le dimensioni dei sottospazi associati alle trasformazioni lineari.

Why it matters: Collega il concetto di iniettività (legato alla nullità) e suriettività (legato al rango) alla geometria dello spazio del dominio.

Avoid these traps

Common Mistakes

• Confondere la dimensione del codominio (W) con la dimensione del dominio (V).
• Supporre che il teorema si applichi a trasformazioni non lineari.

One free problem

Practice Problem

Dato una trasformazione lineare T: ℳ → Ⅎ dove il nucleo è una retta passante per l'origine (dimensione 1), calcola il rango di T.

Hint: La dimensione del dominio è 3. Se la nullità è 1, usa il teorema: Rango + Nullità = Dim(V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
2. Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
3. Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
4. Wikipedia: Rank-nullity theorem
5. Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
6. Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
7. Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
8. Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'