Teorema di Green Calculator
Relaziona un integrale di linea attorno a una curva chiusa a un integrale doppio sulla regione che essa racchiude.
Formula first
Overview
Il Teorema di Green stabilisce una connessione fondamentale tra l'integrale di linea attorno a una curva semplice chiusa e l'integrale doppio sulla regione piana che essa racchiude. È essenzialmente una versione bidimensionale del Teorema di Stokes e viene utilizzato per mettere in relazione la rotazione locale o la circolazione in un campo vettoriale con il rotore netto su un'area.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Applicare questo teorema quando si valuta un integrale di linea lungo una curva chiusa, a tratti liscia, nel piano xy, dove l'integrale di superficie del rotore è più facile da calcolare. Richiede che le funzioni componenti L e M abbiano derivate parziali del primo ordine continue in tutta la regione delimitata dalla curva.
Why it matters: È essenziale per calcolare il lavoro e la circolazione in fisica e fluidodinamica senza dover parametrizzare individualmente percorsi di confine complessi. Fornisce inoltre una base matematica per utilizzare gli integrali di linea per calcolare l'area di forme irregolari, che è il principio operativo dietro il planimetro.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Utilizzo per curve aperte.
- Segno sbagliato (orientamento in senso orario).
One free problem
Practice Problem
Valutare l'integrale di linea ∮_C (y² dx + x² dy) dove C è il bordo del rettangolo definito da 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, orientato in senso antiorario.
Hint: Convertire l'integrale di linea in un integrale doppio dell'espressione (∂M/∂x − ∂L/∂y) sulla regione rettangolare.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem