मुआवजा (हिक्सियन) मांग फ़ंक्शन - Study Guide | Wiki

Core idea

Overview

शेफर्ड लेम्मा से प्राप्त मुआवजा (हिक्सियन) मांग फ़ंक्शन, एक उपभोक्ता द्वारा किसी विशिष्ट उपयोगिता स्तर को प्राप्त करने के लिए किसी वस्तु की मांग की मात्रा का वर्णन करता है, यह मानते हुए कि उनकी आय को मूल्य परिवर्तनों के लिए 'मुआवजा' दिया गया है। मार्शलियन मांग के विपरीत, हिक्सियन मांग उपयोगिता को स्थिर रखकर प्रतिस्थापन प्रभाव को अलग करती है, जिससे यह कल्याण अर्थशास्त्र में जीवन यापन की वास्तविक लागत और उपभोक्ता कल्याण पर मूल्य परिवर्तनों के प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा बन जाती है, जो आय प्रभावों से मुक्त होती है।

When to use: इस सूत्र का उपयोग व्यय फ़ंक्शन ज्ञात होने पर किसी वस्तु के लिए हिक्सियन मांग फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए माइक्रोइकॉनॉमिक्स में किया जाता है। यह स्थिर उपयोगिता की धारणा के तहत उपभोक्ता व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक है, विशेष रूप से मूल्य परिवर्तनों के प्रतिस्थापन प्रभावों को आय प्रभावों से अलग करते समय, या कल्याण विश्लेषण के लिए।

Why it matters: हिक्सियन मांग को समझना उन्नत उपभोक्ता सिद्धांत और कल्याण अर्थशास्त्र के लिए मौलिक है। यह अर्थशास्त्रियों को मूल्य परिवर्तनों के कल्याण प्रभाव को सटीक रूप से मापने (जैसे, क्षतिपूर्ति भिन्नता या समतुल्य भिन्नता का उपयोग करके) और वास्तविक जीवन यापन सूचकांकों का निर्माण करने की अनुमति देता है, जो मानक मार्शलियन मांग की तुलना में उपभोक्ता कल्याण की अधिक सटीक तस्वीर प्रदान करता है।

Why it makes sense

Intuition

एक उपभोक्ता की कल्पना करें जो उपभोग विकल्पों के एक नक्शे पर एक विशिष्ट 'खुशी समोच्च रेखा' (अनधिमान वक्र) पर रहने की कोशिश कर रहा है। किसी वस्तु के लिए हिक्सियन मांग दर्शाती है कि विभिन्न पर उस वस्तु की कितनी मात्रा वह चुनेगा।

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

सूत्र: क्षतिपूर्ति (हिक्सियन) मांग फलन (शेपर्ड लेम्मा)

किसी वस्तु के लिए हिक्सियन मांग को उस वस्तु की कीमत के संबंध में व्यय फलन का आंशिक व्युत्पन्न लेकर पाया जाता है।

उपभोक्ता की प्राथमिकताएं तर्कसंगत, पूर्ण और सकर्मक हैं।
व्यय फलन $e (p, u)$ कीमतों के संबंध में अवकलनीय है।
उपभोक्ता एक निश्चित उपयोगिता स्तर $u$ प्राप्त करने के लिए व्यय को कम करता है।

1

व्यय फलन को परिभाषित करें:

व्यय फलन $e (p, u)$ कीमतों के एक वेक्टर $p$ के दिए जाने पर वस्तुओं $x$ के लिए उपयोगिता स्तर $u$ प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम व्यय का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक बाधित अनुकूलन समस्या है।

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

एनवेलोप प्रमेय (शेपर्ड लेम्मा) लागू करें:

शेपर्ड लेम्मा के अनुसार, जो एनवेलोप प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है, वस्तु $i$ की कीमत ( $p_{i}$ ) के संबंध में व्यय फलन का आंशिक व्युत्पन्न वस्तु $i$ , $h_{i} (p, u)$ के लिए हिक्सियन (क्षतिपूर्ति) मांग फलन प्रदान करता है। इसका मतलब है कि निश्चित उपयोगिता स्तर $u$ बनाए रखने के लिए वस्तु $i$ की मांगी गई मात्रा ठीक उसी दर पर है जिस पर न्यूनतम व्यय $p_{i}$ के संबंध में बदलता है।

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

हिक्सियन मांग: $p$ को विषय बनाएं

No direct algebraic rearrangement for p

$p$ (मूल्य वेक्टर) को हिक्सियन डिमांड फ़ंक्शन का विषय बनाना आम तौर पर सरल बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था के माध्यम से संभव नहीं है, क्योंकि यह आंशिक व्युत्पन्न और व्यय फ़ंक्शन के भीतर अंतर्निहित है।

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

हिक्सियन मांग: $u$ को विषय बनाएं

No direct algebraic rearrangement for u

$u$ (उपयोगिता स्तर) को हिक्सियन डिमांड फ़ंक्शन का विषय बनाना आम तौर पर सरल बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था के माध्यम से संभव नहीं है, क्योंकि यह व्यय फ़ंक्शन और व्युत्पन्न के लिए एक इनपुट है।

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

हिक्सियन मांग: $e$ को विषय बनाएं

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

$e (p, u)$ (व्यय फ़ंक्शन) को विषय बनाने के लिए हिक्सियन डिमांड फ़ंक्शन को एकीकृत करने की आवश्यकता होती है, जो कि विभेदन का व्युत्क्रम संचालन है, न कि एक साधारण बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था।

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

हिक्सियन मांग: $p_{i}$ को विषय बनाएं

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

$p_{i}$ (वस्तु की कीमत i) को हिक्सियन डिमांड फ़ंक्शन का विषय बनाना आम तौर पर सरल बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था के माध्यम से संभव नहीं है, क्योंकि यह विभेदन का चर और व्यय फ़ंक्शन के लिए एक इनपुट है।

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Free study cues

Insight

Canonical usage

This equation is used to ensure dimensional consistency, where the Hicksian demand for a good, representing a quantity, is derived from the partial derivative of the expenditure function (monetary units)

One free problem

Practice Problem

Given an expenditure function $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ , where $p_{1}$ and $p_{2}$ are prices of two goods and $u$ is the utility level. Derive the Hicksian demand function for good 1, $h_{1} (p, u)$ .

Hint: आंशिक व्युत्पन्न नियम लागू करें: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ और यदि आवश्यक हो तो चेन रूल।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

ईंधन मूल्य में उतार-चढ़ाव के बावजूद एक निश्चित जीवन शैली उपयोगिता बनाए रखने के लिए गैसोलीन की मुआवजा मांग की गणना करना। के संदर्भ में, मुआवजा (हिक्सियन) मांग फ़ंक्शन मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रोत्साहनों, नीति प्रभावों, बाजार परिणामों या वित्तीय निर्णयों की तुलना करने में मदद करता है।

Cross-subject links

Connections

Abstract form: f(x) = ∂F/∂x (a derivative of a potential/scalar function with respect to a parameter)

Gibbs-Duhem Equation

Chemistrydφ = ∂Φ/∂x dx (differential sensitivity)

In economics, the Hicksian demand is the derivative of the expenditure function with respect to price, representing the 'sensitivity' of cost to price changes. Similarly, in thermodynamics, chemical potential is the derivative of the Gibbs free energy with respect to the number of moles, representing the sensitivity of energy to composition changes.

Teaching hook: Explain that in both cases, taking a derivative of a 'total' function (Expenditure or Gibbs Free Energy) reveals the underlying 'marginal' value of a single component.

Gradient Descent Step

Data & ComputingΔy = ∂J/∂θ (gradient sensitivity)

The compensated demand function is the gradient of the expenditure function with respect to price, telling us how spending must adjust to keep utility constant. Gradient descent also uses the gradient of a loss function to determine how parameters must adjust to minimize error.

Teaching hook: Use the idea of a 'steepest descent' on a landscape to show students how the derivative acts as a directional compass for optimizing both household budgets and machine learning models.

Backpropagation (Chain Rule)

Data & Computingy = ∂L/∂x (partial derivative mapping)

The Hicksian demand function maps a change in price to a change in optimal quantity via the expenditure function. Backpropagation uses the chain rule to map changes in output weights back to input signals by calculating partial derivatives across layers.

Teaching hook: Highlight that in both instances, we are using the calculus of variations to understand how individual variables contribute to the global outcome of a complex system.

Avoid these traps

Common Mistakes

हिक्सियन मांग को मार्शलियन मांग के साथ भ्रमित करना (जो आय को स्थिर रखता है)।
आंशिक विभेदन को गलत तरीके से करना, विशेष रूप से कई मूल्य चर के साथ।
यह भूल जाना कि $p$ सभी कीमतों का एक वेक्टर है, न कि केवल $p_{i}$ ।

Study smarter

Tips

Remember that Hicksian demand holds utility ( $u$ ) constant, not income.
The expenditure function $e (p, u)$ gives the minimum cost to achieve utility $u$ at prices $p$ .
The partial derivative $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ means differentiating $e$ with respect to $p_{i}$ , treating all other prices and $u$ as constants.
इस संबंध को शेफर्ड लेम्मा के रूप में जाना जाता है।

Common questions

Frequently Asked Questions

किसी वस्तु के लिए हिक्सियन मांग को उस वस्तु की कीमत के संबंध में व्यय फलन का आंशिक व्युत्पन्न लेकर पाया जाता है।

इस सूत्र का उपयोग व्यय फ़ंक्शन ज्ञात होने पर किसी वस्तु के लिए हिक्सियन मांग फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए माइक्रोइकॉनॉमिक्स में किया जाता है। यह स्थिर उपयोगिता की धारणा के तहत उपभोक्ता व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक है, विशेष रूप से मूल्य परिवर्तनों के प्रतिस्थापन प्रभावों को आय प्रभावों से अलग करते समय, या कल्याण विश्लेषण के लिए।

हिक्सियन मांग को समझना उन्नत उपभोक्ता सिद्धांत और कल्याण अर्थशास्त्र के लिए मौलिक है। यह अर्थशास्त्रियों को मूल्य परिवर्तनों के कल्याण प्रभाव को सटीक रूप से मापने (जैसे, क्षतिपूर्ति भिन्नता या समतुल्य भिन्नता का उपयोग करके) और वास्तविक जीवन यापन सूचकांकों का निर्माण करने की अनुमति देता है, जो मानक मार्शलियन मांग की तुलना में उपभोक्ता कल्याण की अधिक सटीक तस्वीर प्रदान करता है।

हिक्सियन मांग को मार्शलियन मांग के साथ भ्रमित करना (जो आय को स्थिर रखता है)। आंशिक विभेदन को गलत तरीके से करना, विशेष रूप से कई मूल्य चर के साथ। यह भूल जाना कि $\mathbf{p}$ सभी कीमतों का एक वेक्टर है, न कि केवल $p_i$।

ईंधन मूल्य में उतार-चढ़ाव के बावजूद एक निश्चित जीवन शैली उपयोगिता बनाए रखने के लिए गैसोलीन की मुआवजा मांग की गणना करना। के संदर्भ में, मुआवजा (हिक्सियन) मांग फ़ंक्शन मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रोत्साहनों, नीति प्रभावों, बाजार परिणामों या वित्तीय निर्णयों की तुलना करने में मदद करता है।

Remember that Hicksian demand holds utility ($u$) constant, not income. The expenditure function $e(\mathbf{p}, u)$ gives the minimum cost to achieve utility $u$ at prices $\mathbf{p}$. The partial derivative $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ means differentiating $e$ with respect to $p_i$, treating all other prices and $u$ as constants. इस संबंध को शेफर्ड लेम्मा के रूप में जाना जाता है।