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ट्रेस्का उपज कसौटी (अधिकतम अपरूपण तनाव सिद्धांत)

जब अधिकतम अपरूपण तनाव एक-अक्षीय तन्यता में उपज शक्ति के आधे तक पहुँचता है तो सामग्री की उपज की भविष्यवाणी करता है।

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τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

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Core idea

Overview

ट्रेस्का उपज कसौटी, जिसे अधिकतम अपरूपण तनाव सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, बताती है कि एक लचीली सामग्री की उपज तब शुरू होती है जब सामग्री में अधिकतम अपरूपण तनाव एक महत्वपूर्ण मान तक पहुँचता है। यह महत्वपूर्ण मान एक साधारण एक-अक्षीय तन्यता परीक्षण से प्राप्त उपज शक्ति ($\sigma_y$) के आधे के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे $\tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2 = \sigma_y/2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $\sigma_1$ और $\sigma_3$ क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख तनाव हैं। इस कसौटी का उपयोग अक्सर लचीली सामग्री के लिए किया जाता है और यह वॉन मिसेस कसौटी की तुलना में उपज के लिए एक रूढ़िवादी अनुमान प्रदान करता है।

When to use: जटिल तनाव अवस्थाओं के तहत लचीली सामग्री में उपज की शुरुआत की भविष्यवाणी करने के लिए इस कसौटी का उपयोग करें, खासकर जब एक रूढ़िवादी डिजाइन दृष्टिकोण पसंद किया जाता है। यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब सामग्री का व्यवहार अपरूपण तनाव से प्रभावित होता है, जैसे कि मरोड़ या पतली-दीवार वाले दबाव वाहिकाओं में।

Why it matters: इंजीनियरिंग घटकों में संरचनात्मक अखंडता और विनाशकारी विफलताओं को रोकने के लिए सामग्री की उपज की भविष्यवाणी करना महत्वपूर्ण है। ट्रेस्का कसौटी इंजीनियरों को ऐसे भागों को डिजाइन करने की अनुमति देती है जो स्थायी विरूपण के बिना लागू भार का सुरक्षित रूप से सामना कर सकते हैं, जो यांत्रिक, नागरिक और एयरोस्पेस इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में शाफ्ट से लेकर दबाव वाहिकाओं तक के घटकों के लिए महत्वपूर्ण है।

Symbols

Variables

$τ_{ma x}$ = Maximum Shear Stress, $σ_{1}$ = Maximum Principal Stress, $σ_{3}$ = Minimum Principal Stress, $σ_{y}$ = Yield Strength (Uniaxial)

τ_{ma x}

Maximum Shear Stress

MPa

σ_{1}

Maximum Principal Stress

MPa

σ_{3}

Minimum Principal Stress

MPa

σ_{y}

Yield Strength (Uniaxial)

MPa

Walkthrough

Derivation

सूत्र: ट्रेस्का यील्ड मानदंड

सारांश: Tresca yield criterion states जो yielding occurs जब maximum shear stress में material reaches half का इसका uniaxial yield strength.

सामग्री तन्य है।
सामग्री समदैशिक व्यवहार प्रदर्शित करती है (सभी दिशाओं में गुण समान हैं)।
संपीड़न में सामग्री की यील्ड शक्ति तनाव में उसकी यील्ड शक्ति के बराबर है।

अपरूपण तनाव के लिए मोहर का वृत्त:

किसी भी सामान्य 3D तनाव स्थिति के लिए, अधिकतम अपरूपण तनाव ( $τ_{ma x}$ ) मुख्य तलों से 45 डिग्री पर तलों पर होता है और यह अधिकतम ( $σ_{1}$ ) और न्यूनतम ( $σ_{3}$ ) मुख्य तनावों के बीच के अंतर के आधे के बराबर होता है। यह मोहर के वृत्त विश्लेषण का एक मौलिक परिणाम है।

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}

एकअक्षीय तन्यता परीक्षण:

एक साधारण एकअक्षीय तन्यता परीक्षण पर विचार करें जहां एक सामग्री $σ_{y}$ तनाव पर यील्ड करती है। इस स्थिति में, मुख्य तनाव $σ_{1} = σ_{y}$ , $σ_{2} = 0$ , और $σ_{3} = 0$ हैं। मोहर के वृत्त से अधिकतम अपरूपण तनाव सूत्र को इस स्थिति में लागू करने पर $τ_{ma x, y i e l d} = \frac{σ _{y} - 0}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ प्राप्त होता है।

σ_{1} = σ_{y}, σ_{2} = 0, σ_{3} = 0

ट्रेस्का मानदंड का सूत्रीकरण:

ट्रेस्का मानदंड मानता है कि किसी भी सामान्य तनाव स्थिति में यील्ड तब होगी जब उस स्थिति में अधिकतम अपरूपण तनाव ( $τ_{ma x}$ ) एकअक्षीय यील्डिंग के दौरान देखे गए समान महत्वपूर्ण मान तक पहुंच जाता है। इसलिए, यील्डिंग की स्थिति $\frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ है।

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Result

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Source: Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2012). Mechanics of Materials (6th ed.). McGraw-Hill. Chapter 8: Theories of Failure.

Visual intuition

Graph

ग्राफ एक धनात्मक ढलान वाली सीधी रेखा है, जो दर्शाती है कि अधिकतम मुख्य तनाव बढ़ने पर अधिकतम अपरूपण तनाव लगातार बढ़ता है। एक इंजीनियरिंग छात्र के लिए, यह रैखिक संबंध का मतलब है कि अधिकतम मुख्य तनाव को दोगुना करने से अधिकतम अपरूपण तनाव में एक आनुपातिक वृद्धि होती है, जो सामग्री की विफलता को सीधे प्रभावित करने वाले तनाव राज्यों को उजागर करता है। इस वक्र की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि चर के बीच स्थिर संबंध तनावों के परिमाण की परवाह किए बिना अपरिवर्तित रहता है, जो यील्ड सीमा की ओर एक पूर्वानुमानित और सुसंगत संक्रमण प्रदर्शित करता है।

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

दृश्य संकेत: Tresca criterion visualizes material yielding के रूप में occurring जब radius का largest Mohr's circle (representing maximum shear stress) प्रमुख राशियाँ $τ_{ma x}$ , $σ_{1}$ , $σ_{3}$ , $σ_{y}$ हैं।

Term

भौतिक अर्थ पहला: Maximum shear stress experienced within material संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

सहज व्याख्या पहला: यह है largest 'cutting' या 'sliding' बल प्रति unit क्षेत्रफल acting internally. जब यह exceeds critical मान, material yields. संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

Term

भौतिक अर्थ दूसरा: Maximum principal stress संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

सहज व्याख्या दूसरा: largest normal stress (tension या compression) acting पर plane जहाँ shear stress है zero. यह दर्शाता है most extreme pulling या pushing बल within material. संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

Term

भौतिक अर्थ तीसरा: Minimum principal stress संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

सहज व्याख्या तीसरा: smallest normal stress (tension या compression) acting पर plane जहाँ shear stress है zero. यह दर्शाता है least extreme pulling या pushing बल within material. संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

Term

भौतिक अर्थ चौथा: Yield strength का material से uniaxial tension test संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

सहज व्याख्या चौथा: stress level पर जो material begins को deform plastically (permanently) जब pulled में one दिशा. यह serves के रूप में benchmark के लिए material's strength limit पहले permanent deformation. संदर्भ: सूत्र: Tresca Yield Criterion.

Signs and relationships

(\sigma_1 - \sigma_3): चिह्न कारण पहला: यह difference दर्शाता है diameter का largest Mohr's circle के लिए given stress state. बड़ा difference indicates अधिक range का normal stresses, जो directly corresponds को बड़ा maximum shear
/2: चिह्न कारण दूसरा: Dividing difference के बीच maximum और minimum principal stresses द्वारा two yields radius का largest Mohr's circle, जो है precisely maximum shear stress.

Free study cues

Insight

Canonical usage

All terms in the Tresca criterion represent stress and must be expressed in consistent units of force per unit area to maintain dimensional homogeneity.

Dimension note

This equation is not dimensionless; it is a relationship between stress quantities.

Ballpark figures

Quantity:

Where it shows up

Real-World Context

रोलर कोस्टर व्हील असेंबली डिज़ाइन करने वाले इंजीनियरों को यह सुनिश्चित करना होगा कि उच्च-जी टर्न के दौरान स्टील एक्सल में स्थायी विकृति न आए। ट्रेन के वजन और केन्द्रापसारक बलों द्वारा प्रेरित तनावों की गणना करके, वे सुनिश्चित करते हैं कि एक्सल सामग्री अपनी लोचदार सीमा के भीतर रहे।

Study smarter

Tips

हमेशा प्रमुख तनावों ( $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ ) की सही पहचान करें और अधिकतम अपरूपण तनाव की सटीक गणना के लिए $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ सुनिश्चित करें।
ट्रेस्का कसौटी आमतौर पर वॉन मिसेस कसौटी से अधिक रूढ़िवादी होती है, जिसका अर्थ है कि यह कम तनाव स्तर पर उपज की भविष्यवाणी करती है।
याद रखें कि $σ_{y}$ एक एक-अक्षीय तन्यता परीक्षण से उपज शक्ति है।
सभी तनाव मानों के लिए सुसंगत इकाइयों को सुनिश्चित करें।

Common questions

Frequently Asked Questions

सारांश: Tresca yield criterion states जो yielding occurs जब maximum shear stress में material reaches half का इसका uniaxial yield strength.

जटिल तनाव अवस्थाओं के तहत लचीली सामग्री में उपज की शुरुआत की भविष्यवाणी करने के लिए इस कसौटी का उपयोग करें, खासकर जब एक रूढ़िवादी डिजाइन दृष्टिकोण पसंद किया जाता है। यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब सामग्री का व्यवहार अपरूपण तनाव से प्रभावित होता है, जैसे कि मरोड़ या पतली-दीवार वाले दबाव वाहिकाओं में।

इंजीनियरिंग घटकों में संरचनात्मक अखंडता और विनाशकारी विफलताओं को रोकने के लिए सामग्री की उपज की भविष्यवाणी करना महत्वपूर्ण है। ट्रेस्का कसौटी इंजीनियरों को ऐसे भागों को डिजाइन करने की अनुमति देती है जो स्थायी विरूपण के बिना लागू भार का सुरक्षित रूप से सामना कर सकते हैं, जो यांत्रिक, नागरिक और एयरोस्पेस इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में शाफ्ट से लेकर दबाव वाहिकाओं तक के घटकों के लिए महत्वपूर्ण है।

हमेशा प्रमुख तनावों ($\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$) की सही पहचान करें और अधिकतम अपरूपण तनाव की सटीक गणना के लिए $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ सुनिश्चित करें। ट्रेस्का कसौटी आमतौर पर वॉन मिसेस कसौटी से अधिक रूढ़िवादी होती है, जिसका अर्थ है कि यह कम तनाव स्तर पर उपज की भविष्यवाणी करती है। याद रखें कि $\sigma_y$ एक एक-अक्षीय तन्यता परीक्षण से उपज शक्ति है। सभी तनाव मानों के लिए सुसंगत इकाइयों को सुनिश्चित करें।

References

Sources

Mechanics of Materials by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, and David F. Mazurek
Mechanics of Materials by R. C. Hibbeler
Wikipedia: Tresca criterion
Shigley's Mechanical Engineering Design
Mechanics of Materials (Hibbeler)
Wikipedia: Tresca yield criterion
Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek
Fundamentals of Machine Component Design by Juvinall and Marshek