सामान्य वितरण प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ)

Core idea

Overview

यह सूत्र क्लासिक घंटी के आकार का गॉसियन वक्र दर्शाता है, जहां शिखर माध्य (μ) द्वारा परिभाषित होता है और फैलाव या चौड़ाई प्रसरण (σ²) द्वारा नियंत्रित होती है। यह अनुमानित सांख्यिकी का आधार है, क्योंकि केंद्रीय सीमा प्रमेय यह निर्धारित करता है कि कई स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग इस वितरण की ओर प्रवृत्त होता है। किसी भी अंतराल पर इस फलन का समाकल यह संभावना दर्शाता है कि यादृच्छिक चर उस सीमा के भीतर आता है।

When to use: उन भौतिक, जैविक, या सामाजिक घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोग करें जहां डेटा बिंदु केंद्रीय औसत के आसपास सममित विचलन के साथ क्लस्टर करते हैं।

Why it matters: यह लगभग सभी वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में संभावनाओं, परिकल्पना परीक्षण और पैरामीटर के अनुमान की गणना की अनुमति देता है।

Symbols

Variables

x = Random Variable, $μ$ = Mean, $σ^{2}$ = Variance

x

Random Variable

Variable

μ

Mean

Variable

σ^{2}

Variance

Variable

Walkthrough

Derivation

सामान्य वितरण प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ)

सामान्य वितरण स्वतंत्र अवलोकनों के माध्य के अधिकतम संभावना अनुमानक अंकगणितीय माध्य होने की आवश्यकता से व्युत्पन्न होता है, जिससे गॉस का कार्यात्मक समीकरण प्राप्त होता है।

प्रायिकता घनत्व फलन f(x) केवल माध्य से दूरी पर निर्भर करता है।
स्वतंत्र अवलोकनों की संयुक्त प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल है।
फ़ंक्शन को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए ताकि वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल 1 हो।

1

कार्यात्मक समीकरण का सूत्रीकरण

यह मानते हुए कि माध्य के लिए सबसे संभावित मान अंकगणितीय माध्य है, घनत्वों का गुणनफल अवलोकनों के वर्गों के योग का एक फलन होना चाहिए।

f (x_{1}) f (x_{2}) ... f (x_{n}) = ϕ (\sum x_{i}^{2})

Note: इसे अक्सर अंकगणितीय माध्य के सिद्धांत के आधार पर गॉस की व्युत्पत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है।

2

लघुगणकीय अवकलन के माध्यम से हल करना

दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, गुणनफल एक योग में बदल जाता है, जिसका अर्थ है कि अवकलज रैखिक होना चाहिए, जिससे f(x) = Ce^{ax^2} का रूप प्राप्त होता है।

ln (f (x_{1})) + ln (f (x_{2})) + ... + ln (f (x_{n})) = ln (ϕ (\sum x_{i}^{2}))

Note: हम 'a' को ऋणात्मक के रूप में पहचानते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि फ़ंक्शन |x| बढ़ने पर घटता है।

3

स्थिरांक निर्धारित करना

हम सामान्यीकरण स्थिरांक C को खोजने के लिए गाऊसी समाकल पहचान का उपयोग करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि कुल प्रायिकता 1 तक समाकलित हो।

\int_{- \infty}^{\infty} C e^{- k (x - μ)^{2}} d x = 1

Note: याद रखें कि $e^{- x^{2}}$ का समाकल पाई का वर्गमूल है।

4

अंतिम सामान्यीकरण

फैलाव पैरामीटर के लिए प्रसरण सिग्मा-वर्ग को प्रतिस्थापित करने पर सामान्य PDF का मानक रूप प्राप्त होता है।

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Note: यह अंतिम रूप इस गुण को संतुष्ट करता है कि वितरण का केंद्र μ है और प्रसरण सिग्मा-वर्ग है।

Result

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Source: Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $x$

x को विषय बनाएं

x = μ \pm - 2 σ^{2} ln (f (x ∣ μ, σ^{2}) 2 π σ^{2})

x को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ$

$μ$ को विषय बनाएं

μ = x \mp - 2 σ^{2} ln (f 2 π σ^{2})

mu को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 3/5

Solve for $σ^{2}$

$σ^{2}$ को विषय बनाएं

σ^{2} = - \frac{( x - μ ) ^{2}}{W ( - 2 π f ^{2} ( x - μ ) ^{2} )}

Solve for the variance by using the Lambert W function or iterative methods as $σ^{2}$ appears in both base and exponent.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

एक सपाट सतह पर रेत गिराकर बनाई गई एक भौतिक पर्वत श्रृंखला की कल्पना करें। शिखर (माध्य) वह जगह है जहाँ अधिकांश रेत जमा होती है, और केंद्र से दूर जाने पर ऊंचाई घातीय रूप से कम हो जाती है। वक्र एक 'गुरुत्वाकर्षण-भारित' आकार है जहाँ ढलानों की ढलान रेत के फैलाव से नियंत्रित होती है; एक चौड़ी ढेर (बड़ा प्रसरण) कोमल होती है, जबकि एक लंबा, पतला स्पाइक (छोटा प्रसरण) खड़ी होती है।

Term

प्रायिकता घनत्व फलन

किसी भी बिंदु x पर वक्र की 'ऊंचाई', जो माध्य और फैलाव दिए जाने पर किसी विशिष्ट मान का सामना करने की सापेक्ष संभावना का प्रतिनिधित्व करती है।

Term

माध्य (अपेक्षित मान)

बेल वक्र का केंद्रीय एंकर बिंदु या शिखर का क्षैतिज स्थान।

Term

प्रसरण

'चौड़ाई' कारक; यह निर्धारित करता है कि डेटा केंद्र से कितनी दूर तक फैला हुआ है।

Term

यूलर की संख्या

क्षय के आधार के रूप में कार्य करता है, यह सुनिश्चित करता है कि प्रायिकता माध्य से दूर जाने पर सुचारू रूप से और पूर्वानुमानित रूप से कम हो जाती है।

Signs and relationships

-(x - μ)²: ऋणात्मक चिह्न सुनिश्चित करता है कि घातांक हमेशा ऋणात्मक या शून्य हो, जिससे माध्य पर एक शिखर बनता है (जहाँ x=μ) और x के माध्य से दूर जाने पर फ़ंक्शन के शून्य की ओर क्षय होने लगता है।
1 / sqrt(2πσ²): यह 'सामान्यीकरण स्थिरांक' है। यह सुनिश्चित करता है कि पूरे वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल ठीक 1 हो, जो 100% कुल प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है।

One free problem

Practice Problem

एक माध्य (μ) 0 और प्रसरण (σ²) 1 के साथ एक सामान्य वितरण के लिए, x = 0 पर घनत्व f(x) की गणना करें।

Hint: याद रखें कि $e^{0}$ = 1 और अभिव्यक्ति 1/sqrt(2π) तक सरल हो जाती है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक विशिष्ट जनसंख्या में वयस्क पुरुषों की ऊंचाई, जो औसत ऊंचाई के आसपास एक अनुमानित मानक विचलन के साथ क्लस्टर करती है।

Study smarter

Tips

याद रखें कि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल हमेशा बिल्कुल 1 होता है।
जटिल गणनाओं को सरल बनाने के लिए μ=0 और σ=1 सेट करके मानक सामान्य वितरण (जेड-स्कोर) का उपयोग करें।
ध्यान दें कि लगभग 68%, 95%, और 99.7% डेटा क्रमशः माध्य से 1, 2, और 3 मानक विचलन के भीतर आता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

मानक विचलन (σ) को प्रसरण (σ²) के साथ भ्रमित करना।
पीडीएफ मान को ही एक संभावना मानना, न कि घनत्व (एक सटीक बिंदु की संभावना 0 है)।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

सामान्य वितरण स्वतंत्र अवलोकनों के माध्य के अधिकतम संभावना अनुमानक अंकगणितीय माध्य होने की आवश्यकता से व्युत्पन्न होता है, जिससे गॉस का कार्यात्मक समीकरण प्राप्त होता है।

उन भौतिक, जैविक, या सामाजिक घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोग करें जहां डेटा बिंदु केंद्रीय औसत के आसपास सममित विचलन के साथ क्लस्टर करते हैं।

यह लगभग सभी वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में संभावनाओं, परिकल्पना परीक्षण और पैरामीटर के अनुमान की गणना की अनुमति देता है।

मानक विचलन (σ) को प्रसरण (σ²) के साथ भ्रमित करना। पीडीएफ मान को ही एक संभावना मानना, न कि घनत्व (एक सटीक बिंदु की संभावना 0 है)।

एक विशिष्ट जनसंख्या में वयस्क पुरुषों की ऊंचाई, जो औसत ऊंचाई के आसपास एक अनुमानित मानक विचलन के साथ क्लस्टर करती है।

याद रखें कि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल हमेशा बिल्कुल 1 होता है। जटिल गणनाओं को सरल बनाने के लिए μ=0 और σ=1 सेट करके मानक सामान्य वितरण (जेड-स्कोर) का उपयोग करें। ध्यान दें कि लगभग 68%, 95%, और 99.7% डेटा क्रमशः माध्य से 1, 2, और 3 मानक विचलन के भीतर आता है।

References

Sources

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability.
Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

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Derivation

कार्यात्मक समीकरण का सूत्रीकरण

लघुगणकीय अवकलन के माध्यम से हल करना

स्थिरांक निर्धारित करना

अंतिम सामान्यीकरण

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Intuition

Practice Problem

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