न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम

Core idea

Overview

बल हमेशा आकर्षक होता है, जो दो द्रव्यमानों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के साथ कार्य करता है। यह व्युत्क्रम-वर्ग संबंध का मतलब है कि दो पिंडों के बीच की दूरी को दोगुना करने से गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान के एक-चौथाई तक कम हो जाता है। यह ग्रहों की कक्षाओं, उपग्रह गति और खगोलीय संरचनाओं के निर्माण को समझने की नींव के रूप में कार्य करता है।

When to use: इस समीकरण का उपयोग तब करें जब आप किसी भी दो विशाल पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना कर रहे हों जहाँ पृथक्करण दूरी पिंडों की त्रिज्याओं की तुलना में काफी बड़ी हो।

Why it matters: यह बताता है कि ग्रह सूर्य की परिक्रमा क्यों करते हैं, चंद्रमा कक्षा में क्यों बने रहते हैं, और हम खगोलीय पिंडों के द्रव्यमान की गणना कैसे कर सकते हैं।

Symbols

Variables

F = Gravitational Force, G = Gravitational Constant, M = Mass of first object, m = Mass of second object, r = Distance between centers

F

Gravitational Force

Variable

G

Gravitational Constant

Variable

M

Mass of first object

Variable

m

Mass of second object

Variable

r

Distance between centers

Variable

Walkthrough

Derivation

न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम की व्युत्पत्ति

न्यूटन ने ग्रहों की गति के तीसरे नियम को वृत्ताकार कक्षाओं में अभिकेन्द्रीय बल की आवश्यकता के साथ संश्लेषित करके इस नियम को व्युत्पन्न किया।

ग्रहों की कक्षाएँ लगभग वृत्ताकार होती हैं।
गुरुत्वाकर्षण बल एक परिक्रमा करने वाले पिंड के लिए अभिकेन्द्रीय बल का एकमात्र स्रोत है।
बल दोनों शामिल द्रव्यमानों के समानुपाती होता है (न्यूटन का तीसरा नियम समरूपता)।

1

अभिकेन्द्रीय बल की आवश्यकता

द्रव्यमान m की एक वस्तु के लिए जो r त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में v वेग से घूम रही है, पथ को बनाए रखने के लिए एक अभिकेन्द्रीय बल की आवश्यकता होती है।

F = \frac{m v ^{2}}{r}

Note: इस सूत्र का उपयोग करते समय इकाइयों को सुसंगत (SI) रखें।

2

कक्षीय वेग और अवधि को संबंधित करना

बल समीकरण में वृत्ताकार कक्षा (परिधि को अवधि से विभाजित) के लिए वेग की परिभाषा को प्रतिस्थापित करें।

v = \frac{2 π r}{T} ⟹ v^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{T ^{2}}

Note: T कक्षीय अवधि का प्रतिनिधित्व करता है।

3

केप्लर के तीसरे नियम को लागू करना

केप्लर का तीसरा नियम कहता है कि कक्षीय अवधि का वर्ग त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है।

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = k ⟹ T^{2} = k r^{3}

Note: केप्लर का नियम अनुभवजन्य है; न्यूटन ने इसके लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान किया।

4

संयोजन और सरलीकरण

बल समीकरण में T वर्ग को प्रतिस्थापित करें और F को r वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती दिखाने के लिए सरल बनाएं, समानुपाती स्थिरांक के रूप में G को परिभाषित करें।

F = \frac{m ( 4 π ^{2} r ^{2} / k r ^{3} )}{r} = \frac{4 π ^{2} m}{k r ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

Note: G सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है।

Result

F = \frac{m ( 4 π ^{2} r ^{2} / k r ^{3} )}{r} = \frac{4 π ^{2} m}{k r ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

Source: AQA/Edexcel A-Level Physics Specification: Gravitational Fields

Free formulas

Rearrangements

Solve for $M$

एम को सब्जेक्ट बनाएं

M = \frac{F r ^{2}}{G m}

प्राथमिक पिंड के द्रव्यमान को हल करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 3/5

Solve for $m$

एम को विषय बनाओ

m = \frac{F r ^{2}}{GM}

द्वितीयक पिंड के द्रव्यमान को हल करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 3/5

Solve for $r$

आर को विषय बनाएं

r = \frac{GM m}{F}

दो द्रव्यमानों के केंद्रों के बीच की दूरी को हल करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

बल को द्रव्यमान M द्वारा उत्सर्जित 'गुरुत्वाकर्षण फव्वारे' के रूप में कल्पना करें। जैसे-जैसे यह दूर जाता है, क्षेत्र की ताकत एक गोले (4πr²) के सतह क्षेत्र पर फैलती है। क्योंकि एक गोले का सतह क्षेत्र त्रिज्या (r²) के वर्ग के साथ बढ़ता है, उस बल की सांद्रता 1/r² के कारक से कम होनी चाहिए।

Term

गुरुत्वाकर्षण बल

दो वस्तुओं के बीच लगने वाला 'खींच' या भार; उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण का परिणाम।

Term

गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक

ब्रह्मांड का 'बल घुंडी'; यह हमें बताता है कि हमारे विशिष्ट ब्रह्मांड में प्रति इकाई द्रव्यमान और दूरी कितना बल उत्पन्न होता है।

Term

दो वस्तुओं के द्रव्यमान

'गुरुत्वाकर्षण आवेश'; किसी वस्तु में जितना अधिक पदार्थ पैक होता है, दूसरों पर उसका खिंचाव उतना ही मजबूत होता है।

Term

पृथक्करण दूरी

दो द्रव्यमानों के केंद्र कितनी दूर हैं; जैसे-जैसे यह बढ़ता है, व्युत्क्रम-वर्ग संबंध के कारण बल तेजी से गिरता है।

Signs and relationships

1/r²: यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम का प्रतिनिधित्व करता है, जो दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण 3D अंतरिक्ष की ज्यामिति का अनुसरण करता है, जहाँ तीव्रता एक गोले के सतह क्षेत्र पर फैलती है।

One free problem

Practice Problem

10 मीटर की दूरी पर अलग किए गए दो 1000 किलोग्राम द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना करें।

Hint: मानों को F = GMm/rθ में प्लग करें। याद रखें कि rθ 100 है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम के संदर्भ में, न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गति, ऊर्जा स्थानांतरण, तरंगों, क्षेत्रों या परिपथ व्यवहार का अनुमान लगाने और उत्तर की युक्तिसंगतता जांचने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि दूरी r को दो पिंडों के द्रव्यमान केंद्रों के बीच मापा गया है, न कि उनकी सतहों के बीच।
SI इकाइयों का उपयोग करें: गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G के साथ संगति बनाए रखने के लिए द्रव्यमान के लिए किलोग्राम और दूरी के लिए मीटर।
याद रखें कि बल पारस्परिक है; पिंड M, m पर उतना ही परिमाण बल लगाता है जितना m, M पर लगाता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

हर (r) को वर्ग करना भूल जाना।
किसी ग्रह की सतह से r को मापना बजाय उसके केंद्र से।
Confusing the gravitational constant G (6.67 × 10^-11) with the acceleration due to gravity g (9.81 m/s²).

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

न्यूटन ने ग्रहों की गति के तीसरे नियम को वृत्ताकार कक्षाओं में अभिकेन्द्रीय बल की आवश्यकता के साथ संश्लेषित करके इस नियम को व्युत्पन्न किया।

इस समीकरण का उपयोग तब करें जब आप किसी भी दो विशाल पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की गणना कर रहे हों जहाँ पृथक्करण दूरी पिंडों की त्रिज्याओं की तुलना में काफी बड़ी हो।

यह बताता है कि ग्रह सूर्य की परिक्रमा क्यों करते हैं, चंद्रमा कक्षा में क्यों बने रहते हैं, और हम खगोलीय पिंडों के द्रव्यमान की गणना कैसे कर सकते हैं।

हर (r) को वर्ग करना भूल जाना। किसी ग्रह की सतह से r को मापना बजाय उसके केंद्र से। Confusing the gravitational constant G (6.67 × 10^-11) with the acceleration due to gravity g (9.81 m/s²).

न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम के संदर्भ में, न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गति, ऊर्जा स्थानांतरण, तरंगों, क्षेत्रों या परिपथ व्यवहार का अनुमान लगाने और उत्तर की युक्तिसंगतता जांचने में मदद करता है।

सुनिश्चित करें कि दूरी r को दो पिंडों के द्रव्यमान केंद्रों के बीच मापा गया है, न कि उनकी सतहों के बीच। SI इकाइयों का उपयोग करें: गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक G के साथ संगति बनाए रखने के लिए द्रव्यमान के लिए किलोग्राम और दूरी के लिए मीटर। याद रखें कि बल पारस्परिक है; पिंड M, m पर उतना ही परिमाण बल लगाता है जितना m, M पर लगाता है।

References

Sources

Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics.
AQA/Edexcel A-Level Physics Specification: Gravitational Fields

Overview

Variables

Derivation

अभिकेन्द्रीय बल की आवश्यकता

कक्षीय वेग और अवधि को संबंधित करना

केप्लर के तीसरे नियम को लागू करना

संयोजन और सरलीकरण

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Gravitational Field Strength

Frequently Asked Questions

Sources