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फेन्सके समीकरण (आसवन में न्यूनतम चरण)

एक बाइनरी आसवन कॉलम के लिए आवश्यक सैद्धांतिक चरणों की न्यूनतम संख्या की गणना करता है।

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N_{min} = \frac{lo g [ ( \frac{x _{D, L K}}{1 - x _{D, L K}} ) ( \frac{1 - x _{B, H K}}{x _{B, H K}} ) ]}{lo g α _{a v g}}

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Core idea

Overview

फेन्सके समीकरण कुल रिफ्लक्स पर काम करने वाले एक बाइनरी आसवन कॉलम के लिए आवश्यक सैद्धांतिक चरणों (N_min) की न्यूनतम संख्या प्रदान करता है। यह आदर्श स्थिति कोई उत्पाद निकासी नहीं मानती है, जिससे पृथक्करण दक्षता अधिकतम होती है। यह रासायनिक इंजीनियरिंग में आसवन प्रक्रियाओं के प्रारंभिक डिजाइन और विश्लेषण के लिए एक मौलिक उपकरण है, जो वास्तविक कॉलम प्रदर्शन की तुलना में एक बेंचमार्क प्रदान करता है। समीकरण सापेक्ष अस्थिरता और वांछित उत्पाद शुद्धता के पृथक्करण कठिनाई पर प्रभाव को उजागर करता है।

When to use: इस समीकरण को आसवन कॉलम के प्रारंभिक डिजाइन चरण के दौरान एक वांछित पृथक्करण के लिए आवश्यक पूर्ण न्यूनतम सैद्धांतिक चरणों का अनुमान लगाने के लिए लागू करें। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कुल रिफ्लक्स शर्तों को माना जाता है, जिससे पृथक्करण दक्षता की एक सैद्धांतिक सीमा प्रदान की जाती है।

Why it matters: फेन्सके समीकरण आसवन प्रक्रियाओं के व्यवहार्यता अध्ययन और आर्थिक मूल्यांकन के लिए महत्वपूर्ण है। न्यूनतम चरणों का निर्धारण करके, इंजीनियर पृथक्करण की कठिनाई का आकलन कर सकते हैं, कॉलम की ऊंचाई का अनुमान लगा सकते हैं, और विभिन्न पृथक्करण रणनीतियों की तुलना कर सकते हैं, अंततः अधिक कुशल और लागत प्रभावी संयंत्र डिजाइन की ओर ले जाते हैं।

Symbols

Variables

$N_{min}$ = Minimum Stages, $x_{D, L K}$ = Mole Fraction LK in Distillate, $x_{B, H K}$ = Mole Fraction HK in Bottoms, $α_{a v g}$ = Average Relative Volatility

N_{min}

Minimum Stages

stages

x_{D, L K}

Mole Fraction LK in Distillate

mol/mol

x_{B, H K}

Mole Fraction HK in Bottoms

mol/mol

α_{a v g}

Average Relative Volatility

dimensionless

Walkthrough

Derivation

सूत्र: फेंसके समीकरण (आसवन में न्यूनतम चरण)

सारांश: Fenske समीकरण determines minimum theoretical stages के लिए distillation पर total reflux, based पर relative volatility और गुणनफल purities.

कुल रिफ्लक्स ऑपरेशन (कोई उत्पाद निकासी नहीं)।
कॉलम में निरंतर सापेक्ष अस्थिरता (α_avg)।
आदर्श चरण (वाष्प और तरल संतुलन में)।
बाइनरी सिस्टम (दो घटक)।

सापेक्ष अस्थिरता की परिभाषा:

सापेक्ष अस्थिरता दो घटकों, A और B के पृथक्करण की आसानी का वर्णन करती है, जहाँ y और x क्रमशः संतुलन में वाष्प और तरल चरणों में मोल अंश हैं।

α = \frac{( y _{A} / x _{A} )}{( y _{B} / x _{B} )}

एक आदर्श चरण के लिए संतुलन संबंध:

एक बाइनरी सिस्टम के लिए, वाष्प चरण में घटक A के मोल अंशों का अनुपात ( $y_{A}$ /(1- $y_{A}$ )) तरल चरण अनुपात ( $x_{A}$ /(1- $x_{A}$ )) से सापेक्ष अस्थिरता द्वारा संबंधित होता है, आदर्श व्यवहार को मानते हुए।

\frac{y _{A}}{1 - y _{A}} = α \frac{x _{A}}{1 - x _{A}}

कुल रिफ्लक्स पर कई चरणों पर लागू करना:

कुल रिफ्लक्स पर, शीर्ष चरण से निकलने वाली वाष्प ( $y_{D}$ ) इसमें प्रवेश करने वाले तरल के साथ संतुलन में होती है, और नीचे के लिए भी इसी तरह। N_min आदर्श चरणों पर, संवर्धन कारक $α$ को N_min की घात तक बढ़ाया जाता है, जो शीर्ष और नीचे की संरचनाओं को संबंधित करता है।

(\frac{y _{D}}{1 - y _{D}}) = α^{N_{min}} (\frac{x _{B}}{1 - x _{B}})

डिस्टिलेट और बॉटम्स संरचनाओं से संबंधित करना:

कुल रिफ्लक्स स्थितियों के तहत, कॉलम के शीर्ष से निकलने वाली वाष्प संरचना ( $y_{D}$ ) डिस्टिलेट संरचना ( $x_{D}$ ,LK) के लगभग बराबर होती है, और नीचे से निकलने वाली तरल संरचना ( $x_{B}$ ) बॉटम्स संरचना ( $x_{B}$ ,HK) के लगभग बराबर होती है।

y_{D} \approx x_{D, L K} and x_{B} \approx x_{B, H K}

अंतिम फेंसके समीकरण:

बहु-चरण संतुलन संबंध में डिस्टिलेट और बॉटम्स संरचनाओं को प्रतिस्थापित करना और दोनों तरफ का लघुगणक लेना, फिर N_min के लिए पुनर्व्यवस्थित करना, फेंसके समीकरण प्राप्त करता है।

α^{N_{min}} = (\frac{x _{D, L K}}{1 - x _{D, L K}}) (\frac{1 - x _{B, H K}}{x _{B, H K}})

Result

α^{N_{min}} = (\frac{x _{D, L K}}{1 - x _{D, L K}}) (\frac{1 - x _{B, H K}}{x _{B, H K}})

Source: Unit Operations of Chemical Engineering by W.L. McCabe, J.C. Smith, P. Harriott, Chapter 13: Distillation

Free formulas

Rearrangements

Solve for $x_{D, L K}$

$x_{D}$ ,LK को विषय बनाएं

x_{D, L K} = \frac{A}{1 + A}

$x_{D}$ ,LK को विषय बनाने के लिए, पहले सापेक्ष वाष्पशीलता को घातांकित करके $x_{D}$ ,LK वाले पद को अलग करें, फिर प्राप्त बीजगणितीय व्यंजक को हल करें.

Difficulty: 4/5

Solve for $x_{B, H K}$

$x_{B}$ ,HK को विषय बनाएं

x_{B, H K} = \frac{1}{1 + \frac{α _{a v g}^{N_{min}}}{( \frac{x _{D, L K}}{1 - x _{D, L K}} )}}

$x_{B}$ ,HK को विषय बनाने के लिए, पहले सापेक्ष वाष्पशीलता को घातांकित करके $x_{B}$ ,HK वाले पद को अलग करें, फिर प्राप्त बीजगणितीय व्यंजक को हल करें.

Difficulty: 4/5

Solve for $α_{a v g}$

$α_{a v g}$ को विषय बनाएं

α_{a v g} = [(\frac{x _{D, L K}}{1 - x _{D, L K}}) (\frac{1 - x _{B, H K}}{x _{B, H K}})]^{1/ N_{min}}

To make $α_{a v g}$ the subject, first isolate the $lo g α_{a v g}$ term, then exponentiate both sides to remove the logarithm.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

ग्राफ एक व्युत्क्रम शक्ति-कानून संबंध प्रदर्शित करता है जहाँ चरणों की संख्या सापेक्ष अस्थिरता बढ़ने पर तेजी से गिरती है, जो क्षैतिज अक्ष के करीब आने पर सपाट हो जाती है। एक इंजीनियरिंग छात्र के लिए, इसका मतलब है कि सापेक्ष अस्थिरता के छोटे मानों को पृथक्करण प्राप्त करने के लिए एक भारी संख्या में चरणों की आवश्यकता होती है, जबकि बड़े मान बहुत अधिक कॉम्पैक्ट और कुशल कॉलम डिजाइन की अनुमति देते हैं। इस वक्र की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचता है, जिसका अर्थ है कि अत्यधिक सापेक्ष अस्थिरता के साथ भी, एक आसवन कॉलम को पृथक्करण करने के लिए हमेशा कम से कम एक सैद्धांतिक चरण की आवश्यकता होगी।

Graph type: power_law

Why it behaves this way

Intuition

एक ऊर्ध्वाधर कॉलम की कल्पना करें जिसमें अलग-अलग क्षैतिज trays या packing sections की एक शृंखला हो। प्रत्येक tray एक सैद्धांतिक stage को दर्शाती है, जहाँ वाष्प और द्रव निकट संपर्क में आते हैं, साम्यावस्था तक पहुँचते हैं, और अलग हो जाते हैं, यही शर्त है।

Term

किसी दिए गए पृथक्करण के लिए आवश्यक आदर्श पृथक्करण चरणों (सैद्धांतिक stages) की पूर्ण न्यूनतम संख्या।

मिश्रण को अलग करने की मूलभूत कठिनाई को दर्शाता है; अधिक मान का अर्थ है कि पृथक्करण स्वभावतः अधिक कठिन है।

Term

आसुत (शीर्ष उत्पाद) में light key घटक का मोल अंश।

overhead stream में अधिक वाष्पशील घटक की वांछित शुद्धता को मात्रात्मक रूप देता है; अधिक शुद्धता के लिए अधिक पृथक्करण प्रयास की आवश्यकता होती है।

Term

bottoms (निचला उत्पाद) में heavy key घटक का मोल अंश।

bottom stream में कम वाष्पशील घटक की वांछित शुद्धता को मात्रात्मक रूप देता है; कम मानों (अर्थात bottoms में heavy key कम है, इसलिए light key अधिक हटाया गया है) के लिए अधिक पृथक्करण प्रयास की आवश्यकता होती है।

Term

light key और heavy key घटकों के बीच औसत सापेक्ष वाष्पशीलता।

यह एक विमाहीन माप है कि दो घटकों को आसवन द्वारा कितनी आसानी से अलग किया जा सकता है; अधिक मान आसान पृथक्करण को दर्शाता है, जिसके लिए कम stages की आवश्यकता होती है।

Signs and relationships

\log \alpha_{avg}: हर में सापेक्ष वाष्पशीलता का लघुगणक यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे पृथक्करण की आसानी (सापेक्ष वाष्पशीलता) बढ़ती है, stages की संख्या लघुगणकीय रूप से घटती है।
\log \left[ \left( \frac{x_{D,LK}}{1 - x_{D,LK}} \right): यह पूरा अंश पद, जिसे अक्सर 'overall separation factor' या 'split factor' कहा जाता है, आवश्यक कुल पृथक्करण को मात्रात्मक रूप देता है।

Free study cues

Insight

Canonical usage

The Fenske equation calculates the minimum number of theoretical stages, which is a dimensionless count, for a binary distillation column.

Dimension note

All input variables (mole fractions and average relative volatility) are dimensionless ratios. The Fenske equation calculates $N_{min}$ as a dimensionless count, representing the minimum number of theoretical stages.

Ballpark figures

Quantity:
Quantity:
Quantity:

One free problem

Practice Problem

एक बाइनरी मिश्रण को आसवन द्वारा अलग किया जाना है। डिस्टिलेट ( $x_{D}$ ,LK) में लाइट की का मोल अंश 0.98 है, और बॉटम्स ( $x_{B}$ ,HK) में 0.02 है। यदि औसत सापेक्ष अस्थिरता (α_avg) 2.5 है, तो आवश्यक सैद्धांतिक चरणों (N_min) की न्यूनतम संख्या की गणना करें।

Hint: लघुगणक का उपयोग करके अंश और हर को अलग-अलग गणना करें, फिर विभाजित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

कच्चे तेल को गैसोलीन, केरोसिन और डीजल में अलग करने के लिए कॉलम डिजाइन करना। के संदर्भ में, फेन्सके समीकरण (आसवन में न्यूनतम चरण) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि मोल अंश ( $x_{D}$ ,LK, $x_{B}$ ,HK) दशमलव (0 से 1) के रूप में व्यक्त किए गए हैं।
पृथक्करण संभव होने के लिए सापेक्ष अस्थिरता (α_avg) 1 से अधिक होनी चाहिए।
यह समीकरण स्थिर सापेक्ष अस्थिरता और कुल रिफ्लक्स मानता है, इसलिए वास्तविक चरण हमेशा अधिक होंगे।
LK का अर्थ लाइट की (Light Key) घटक है, HK का अर्थ हेवी की (Heavy Key) घटक है।

Avoid these traps

Common Mistakes

मोल अंश के बजाय द्रव्यमान अंश का उपयोग करना।
लाइट की (LK) और हेवी की (HK) घटकों की गलत पहचान करना।
फेन्सके समीकरण को अंडरवुड या गिलिलैंड समीकरणों के साथ भ्रमित करना, जो आसवन डिजाइन के विभिन्न पहलुओं को संबोधित करते हैं।

Common questions

Frequently Asked Questions

इस समीकरण को आसवन कॉलम के प्रारंभिक डिजाइन चरण के दौरान एक वांछित पृथक्करण के लिए आवश्यक पूर्ण न्यूनतम सैद्धांतिक चरणों का अनुमान लगाने के लिए लागू करें। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कुल रिफ्लक्स शर्तों को माना जाता है, जिससे पृथक्करण दक्षता की एक सैद्धांतिक सीमा प्रदान की जाती है।

फेन्सके समीकरण आसवन प्रक्रियाओं के व्यवहार्यता अध्ययन और आर्थिक मूल्यांकन के लिए महत्वपूर्ण है। न्यूनतम चरणों का निर्धारण करके, इंजीनियर पृथक्करण की कठिनाई का आकलन कर सकते हैं, कॉलम की ऊंचाई का अनुमान लगा सकते हैं, और विभिन्न पृथक्करण रणनीतियों की तुलना कर सकते हैं, अंततः अधिक कुशल और लागत प्रभावी संयंत्र डिजाइन की ओर ले जाते हैं।

मोल अंश के बजाय द्रव्यमान अंश का उपयोग करना। लाइट की (LK) और हेवी की (HK) घटकों की गलत पहचान करना। फेन्सके समीकरण को अंडरवुड या गिलिलैंड समीकरणों के साथ भ्रमित करना, जो आसवन डिजाइन के विभिन्न पहलुओं को संबोधित करते हैं।

सुनिश्चित करें कि मोल अंश (x_D,LK, x_B,HK) दशमलव (0 से 1) के रूप में व्यक्त किए गए हैं। पृथक्करण संभव होने के लिए सापेक्ष अस्थिरता (α_avg) 1 से अधिक होनी चाहिए। यह समीकरण स्थिर सापेक्ष अस्थिरता और कुल रिफ्लक्स मानता है, इसलिए वास्तविक चरण हमेशा अधिक होंगे। LK का अर्थ लाइट की (Light Key) घटक है, HK का अर्थ हेवी की (Heavy Key) घटक है।

References

Sources

Seader, Henley, Roper, Separation Process Principles
McCabe, Smith, Harriott, Unit Operations of Chemical Engineering
Wikipedia: Fenske equation
Warren L. McCabe, Julian C. Smith, Peter Harriott. Unit Operations of Chemical Engineering. 7th ed.
R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot. Transport Phenomena. 2nd ed.
J. D. Seader, Ernest J. Henley, D. Keith Roper. Separation Process Principles, 4th ed. John Wiley & Sons, 2017.
Warren L. McCabe, Julian C. Smith, Peter Harriott. Unit Operations of Chemical Engineering, 7th ed. McGraw-Hill, 2005.
Robert H. Perry, Don W. Green. Perry's Chemical Engineers' Handbook, 8th ed. McGraw-Hill, 2008.

फेन्सके समीकरण (आसवन में न्यूनतम चरण)

Overview

Variables

Derivation

सापेक्ष अस्थिरता की परिभाषा:

एक आदर्श चरण के लिए संतुलन संबंध:

कुल रिफ्लक्स पर कई चरणों पर लागू करना:

डिस्टिलेट और बॉटम्स संरचनाओं से संबंधित करना:

अंतिम फेंसके समीकरण:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Relative Volatility

Gilliland Correlation

McCabe-Thiele Method

Frequently Asked Questions

Sources