डेरिवेटिव (शक्ति)

Core idea

Overview

शक्ति नियम एक चर के एक स्थिरांक वास्तविक-संख्या घातांक तक उठाए गए डेरिवेटिव की गणना के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक मौलिक सिद्धांत है। यह स्थापित करता है कि एक शक्ति फ़ंक्शन का ढलान चर पद को उसके वर्तमान घातांक से गुणा करके और फिर उस घातांक को ठीक एक से घटाकर निर्धारित किया जाता है।

When to use: xⁿ के रूप में किसी भी पद का अवकलन करते समय इस नियम को लागू करें, जहां n एक स्थिरांक मान है। यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है, जिसमें धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक और रेडिकल का प्रतिनिधित्व करने वाले भिन्नात्मक घातांक शामिल हैं।

Why it matters: यह नियम डेरिवेटिव की परिभाषा की थकाऊ सीमा पर निर्भर किए बिना परिवर्तन की दरों की तीव्र गणना की अनुमति देता है। यह वेग से त्वरण प्राप्त करने के लिए भौतिकी में और सीमांत लागत और राजस्व निर्धारित करने के लिए अर्थशास्त्र में आवश्यक है।

Symbols

Variables

n = Power n, x = Variable x, $\frac{d y}{d x}$ = Derivative value

n

Power n

Variable

x

Variable x

Variable

\frac{d y}{d x}

Derivative value

Variable

Walkthrough

Derivation

अवकलन के लिए घात नियम की व्युत्पत्ति

घात नियम कहता है कि $x^{n}$ का अवकलज n x^(n-1) है। इसे द्विपद विस्तार का उपयोग करके प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है।

इस व्युत्पत्ति के लिए n एक धनात्मक पूर्णांक है (इसलिए द्विपद प्रमेय एक परिमित विस्तार देता है)।
h के 0 के करीब पहुंचने पर सीमा मौजूद है।

1

प्रथम सिद्धांतों से प्रारंभ करें:

अंतर भागफल की सीमा के रूप में अवकलज की परिभाषा का उपयोग करें।

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{n} - x ^{n}}{h}

2

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (x+h)^n का विस्तार करें:

अभिव्यक्ति को h की बढ़ती घातों वाले पदों में विस्तारित करें।

(x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h^{2} + \dots + h^{n}

3

x^n को रद्द करें और h से विभाजित करें:

$x^{n}$ घटाने से पहला पद रद्द हो जाता है, जिससे केवल h वाले पद बचते हैं।

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{n x ^{n - 1} h + \frac{n ( n - 1 )}{2} x ^{n - 2} h ^{2} + \dots + h ^{n}}{h}

4

सीमा लें:

जब $h \to 0$ , h वाले सभी पद लुप्त हो जाते हैं, केवल पहला पद बचता है।

f^{'} (x) = h \to 0 lim (n x^{n - 1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} x^{n - 2} h + \dots + h^{n - 1})

5

अंतिम परिणाम:

तो $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$ .

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Result

f^{'} (x) = n x^{n - 1}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

अवकलज nx^(n-1) किसी भी दिए गए बिंदु x पर वक्र y=xn की स्पर्शरेखा की ढलान का वर्णन करता है, यह दर्शाता है कि वक्र की ढलान इसके डोमेन में कैसे बदलती है।

Term

चर x के संबंध में एक फलन का तात्कालिक परिवर्तन दर।

यह बताता है कि x में एक छोटे से परिवर्तन के लिए फलन का मान कितनी तेजी से बदलता है, जो किसी विशिष्ट बिंदु पर फलन के ग्राफ की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।

Term

एक घात फलन, जहाँ x स्वतंत्र चर है और n एक स्थिर वास्तविक-संख्या घातांक है।

एक वक्र का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी ढलान और वक्रता n और x के मानों पर निर्भर करती है। सामान्य उदाहरणों में परवलय (x2) या घन (x3) शामिल हैं।

Term

मूल फलन में चर x की घात के रूप में स्थिर घातांक।

यह घात फलन के 'क्रम' या 'डिग्री' को निर्धारित करता है और इसके आकार और वृद्धि दर को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है।

Term

xn का अवकलज, जो किसी भी बिंदु x पर वक्र y=xn की स्पर्शरेखा की ढलान देता है।

यह नया फलन अपने पथ के हर बिंदु पर मूल वक्र की सटीक ढलान को मापता है।

Signs and relationships

n-1 (as the exponent in the derivative): घातांक एक से कम हो जाता है क्योंकि अवकलन परिवर्तन की दर की गणना करता है, जो आम तौर पर मूल फलन की तुलना में एक क्रम या 'आयाम' कम होता है। उदाहरण के लिए, क्षेत्रफल (x2) का परिवर्तन दर
n (as the coefficient in the derivative): मूल घातांक 'n' एक गुणक कारक बन जाता है, जो परिवर्तन की दर को मापता है। यह दर्शाता है कि मूल घातांक का परिमाण सीधे अवकलज की ढलान को कैसे प्रभावित करता है।

Free study cues

Insight

Canonical usage

This rule dictates how the dimension of a power function changes when differentiated with respect to its base variable.

Dimension note

If the variable 'x' is dimensionless (e.g., a pure number, a ratio), then ' $x^{n}$ ' is also dimensionless, and its derivative 'nx^(n-1)' will remain dimensionless.

One free problem

Practice Problem

फलन f(x) = x³ के परिवर्तन की तात्कालिक दर की गणना करें जहां x = 2 है।

Hint: शक्ति नियम nxⁿ⁻¹ लागू करें, n के लिए 3 और x के लिए 2 को प्रतिस्थापित करके।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

विस्थापन समीकरण से वेग ज्ञात करना। के संदर्भ में, डेरिवेटिव (शक्ति) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

घातांक को कम करने से पहले पद को वर्तमान घातांक से गुणा करें।
घातांक से ठीक एक घटाएं, ऋणात्मक संख्याओं के साथ सावधानीपूर्वक गणना सुनिश्चित करें।
नियम लागू करने से पहले रेडिकल चिह्नों को भिन्नात्मक घातांकों में कनवर्ट करें।
याद रखें कि एक रैखिक पद x¹ का डेरिवेटिव केवल 1 है।

Avoid these traps

Common Mistakes

अवकलन के बजाय समाकलन करना।
स्थिरांक के लिए n=0 भूल जाना।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

घात नियम कहता है कि x^n का अवकलज n x^(n-1) है। इसे द्विपद विस्तार का उपयोग करके प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है।

xⁿ के रूप में किसी भी पद का अवकलन करते समय इस नियम को लागू करें, जहां n एक स्थिरांक मान है। यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है, जिसमें धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक और रेडिकल का प्रतिनिधित्व करने वाले भिन्नात्मक घातांक शामिल हैं।

यह नियम डेरिवेटिव की परिभाषा की थकाऊ सीमा पर निर्भर किए बिना परिवर्तन की दरों की तीव्र गणना की अनुमति देता है। यह वेग से त्वरण प्राप्त करने के लिए भौतिकी में और सीमांत लागत और राजस्व निर्धारित करने के लिए अर्थशास्त्र में आवश्यक है।

अवकलन के बजाय समाकलन करना। स्थिरांक के लिए n=0 भूल जाना।

विस्थापन समीकरण से वेग ज्ञात करना। के संदर्भ में, डेरिवेटिव (शक्ति) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

घातांक को कम करने से पहले पद को वर्तमान घातांक से गुणा करें। घातांक से ठीक एक घटाएं, ऋणात्मक संख्याओं के साथ सावधानीपूर्वक गणना सुनिश्चित करें। नियम लागू करने से पहले रेडिकल चिह्नों को भिन्नात्मक घातांकों में कनवर्ट करें। याद रखें कि एक रैखिक पद x¹ का डेरिवेटिव केवल 1 है।

References

Sources

Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
Wikipedia: Power rule
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

प्रथम सिद्धांतों से प्रारंभ करें:

द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (x+h)^n का विस्तार करें:

x^n को रद्द करें और h से विभाजित करें:

सीमा लें:

अंतिम परिणाम:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integral of x^n

Frequently Asked Questions

Sources