Mathematicsअमूर्त बीजगणित (Abstract Algebra)University
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लैग्रेंज का प्रमेय (Lagrange's Theorem) Calculator

बताता है कि किसी भी परिमित समूह G के लिए, प्रत्येक उपसमूह H का क्रम G के क्रम को विभाजित करता है।

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Result
Ready
Index [G:H]

Formula first

Overview

लैग्रेंज का प्रमेय बताता है कि किसी भी परिमित समूह G के लिए, प्रत्येक उपसमूह H का क्रम मूल समूह G के क्रम को विभाजित करना चाहिए। परिणामी भागफल को G में H का सूचकांक (index) कहा जाता है, जो G में H के अद्वितीय वाम (left) या दक्षिण (right) सह-समूहों (cosets) की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

Symbols

Variables

[G:H] = Index [G:H], |G| = Order of Group G, |H| = Order of Subgroup H

[G:H]
Index [G:H]
Variable
|G|
Order of Group G
Variable
|H|
Order of Subgroup H
Variable

Apply it well

When To Use

When to use: किसी परिमित समूह के भीतर उपसमूहों के संभावित आकारों या सह-समूहों की संख्या की जांच करते समय इस प्रमेय का उपयोग करें। यह सत्यापित करने के लिए आवश्यक है कि क्या कोई विशिष्ट पूर्णांक किसी दिए गए समूह आकार के लिए उपसमूह का सैद्धांतिक रूप से क्रम हो सकता है।

Why it matters: यह प्रमेय अमूर्त बीजगणित का एक आधारशिला है, जो कॉशी के प्रमेय (Cauchy's Theorem) और स्यलो के प्रमेय (Sylow's Theorems) जैसे अधिक जटिल परिणामों के लिए आधार प्रदान करता है। यह एन्क्रिप्शन में उपयोग किए जाने वाले चक्रीय समूहों (cyclic groups) में तत्वों के संभावित क्रम को सीमित करके आधुनिक क्रिप्टोग्राफ़िक सुरक्षा का भी समर्थन करता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • अनंत समूहों (infinite groups) पर प्रमेय लागू करना जहां क्रमों की 'विभाज्यता' की अवधारणा उसी तरह लागू नहीं होती है।
  • यह मानना कि समूह क्रम के हर भाजक के लिए एक उपसमूह मौजूद होना चाहिए।

One free problem

Practice Problem

एक परिमित समूह G का क्रम 48 है। यदि H, G का एक उपसमूह है जिसका क्रम 12 है, तो G में H का सूचकांक क्या है?

Hint: सूचकांक समूह के क्रम को उपसमूह के क्रम से विभाजित करने का अनुपात है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Dummit and Foote, Abstract Algebra
  2. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra
  3. Wikipedia: Lagrange's theorem (group theory)
  4. Abstract Algebra by David S. Dummit and Richard M. Foote
  5. Contemporary Abstract Algebra by Joseph A. Gallian
  6. Dummit, David S., and Richard M. Foote. Abstract Algebra. 3rd ed. John Wiley & Sons, 2004.
  7. Wikipedia contributors. 'Lagrange's theorem (group theory).' Wikipedia, The Free Encyclopedia.
  8. A First Course in Abstract Algebra by John B. Fraleigh