ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइजेशन (Gram-Schmidt Orthogonalization) Calculator

Formula first

Overview

ग्राम-श्मिट प्रक्रिया एक आंतरिक उत्पाद स्थान में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों (linearly independent vectors) के एक सेट से एक ऑर्थोगोनल या ऑर्थोनॉर्मल आधार (orthogonal or orthonormal basis) उत्पन्न करने की एक व्यवस्थित विधि है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि नया सदिश पिछले सभी सदिशों के लंबवत (perpendicular) है, किसी सदिश के प्रक्षेपणों (projections) को पहले से निर्मित ऑर्थोगोनल सदिशों पर पुनरावृत्ति (iteratively) से घटाकर काम करता है।

Symbols

Variables

$u_k$ = Resulting Orthogonal Magnitude, $v_k$ = Input Vector Magnitude, $\sum$ $p_j$ = Sum of Projections

Apply it well

When To Use

When to use: जब आपको एक उप-स्थान (subspace) के लिए एक ऑर्थोगोनल आधार का निर्माण करने की आवश्यकता हो, जो सदिश प्रक्षेपणों को सरल बनाने और क्यूआर विघटन (QR decompositions) करने के लिए आवश्यक है, तो इस एल्गोरिथम को लागू करें। यह मानता है कि सदिशों का इनपुट सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है और एक आंतरिक उत्पाद (जैसे डॉट उत्पाद) परिभाषित है।

Why it matters: ऑर्थोगोनल आधार कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल होते हैं क्योंकि वे मैट्रिक्स संचालन (matrix operations) में क्रॉस-टर्म इंटरैक्शन को समाप्त करते हैं। यह प्रक्रिया कंप्यूटर ग्राफिक्स में समन्वय परिवर्तनों (coordinate transformations) के लिए, सिग्नल प्रोसेसिंग (signal processing) में शोर कम करने (noise reduction) के लिए, और न्यूनतम-वर्ग समाधानों (least-squares solutions) की स्थिरता में सुधार के लिए संख्यात्मक विश्लेषण (numerical analysis) में महत्वपूर्ण है।

Avoid these traps

Common Mistakes

• बाद के प्रक्षेपणों के लिए मूल सदिशों के बजाय नए मिले ऑर्थोगोनल सदिशों का उपयोग करना।
• अदिश प्रक्षेपणों (scalar projections) के लिए उपयोग किए जाने वाले डॉट उत्पादों में गणना त्रुटियाँ।

One free problem

Practice Problem

रैखिक बीजगणित अभ्यास में, एक छात्र एक सेट के दूसरे सदिश को संसाधित कर रहा है। यदि इनपुट सदिश vk का एक घटक मान 12 है और पहले ऑर्थोगोनल सदिश (projSum) पर इसके प्रक्षेपणों का योग 4.5 के रूप में गणना की जाती है, तो परिणामी ऑर्थोगोनल सदिश परिणाम के संगत घटक को ज्ञात कीजिए।

Hint: मूल सदिश घटक से प्रक्षेपणों के योग को घटाएं।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Linear Algebra and Its Applications (5th ed.) by David C. Lay, Steven R. Lay, and Judi J. McDonald
2. Introduction to Linear Algebra (5th ed.) by Gilbert Strang
3. Wikipedia: Gram-Schmidt process
4. Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay, 5th ed.
5. Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang, 5th ed.
6. Gram-Schmidt process (Wikipedia article title)
7. Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay (5th Edition)
8. Numerical Linear Algebra by Lloyd N. Trefethen and David Bau III