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यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन (Euler's Totient Function) Calculator

n तक की उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या गिनता है जो n के सह-अभाज्य (coprime) हैं।

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Result
Ready
Totient Value

Formula first

Overview

यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन, जिसे φ(n) द्वारा दर्शाया जाता है, n तक की उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या गिनता है जो n के सापेक्ष अभाज्य (relatively prime) हैं। यह संख्या सिद्धांत में एक मौलिक गुणक फ़ंक्शन (multiplicative function) है जिसका उपयोग मॉड्यूलर अंकगणित और चक्रीय समूहों (cyclic groups) के गुणों का पता लगाने के लिए किया जाता है।

Symbols

Variables

(n) = Totient Value, n = Input Integer

Totient Value
Variable
Input Integer
Variable

Apply it well

When To Use

When to use: n मॉड्यूलो पूर्णांकों के गुणक समूह (multiplicative group of integers modulo n) के क्रम (order) की गणना करते समय इस फ़ंक्शन का उपयोग करें। यह मॉड्यूलर घातांक (modular exponentiation) में यूलर के प्रमेय को लागू करने या n क्रम के चक्रीय समूह में जनरेटर (generators) की संख्या निर्धारित करने के लिए प्राथमिक उपकरण है।

Why it matters: यह समीकरण RSA एन्क्रिप्शन एल्गोरिथम का गणितीय आधार है, जो आधुनिक डिजिटल संचार को सुरक्षित करता है। यह दो बड़ी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के टोटिएंट (totient) का निर्धारण करके निजी कुंजियों (private keys) की गणना की अनुमति देता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • गुणनफल सूत्र (product formula) में सभी भाजकों (divisors) को शामिल करना, केवल अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडों के बजाय।
  • phi(n) को भाजकों की संख्या (n) के साथ भ्रमित करना।

One free problem

Practice Problem

एक विश्लेषक को 12 से कम उन पूर्णांकों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है जो 1 के अलावा 12 के साथ कोई सामान्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं। इस मान के लिए टोटिएंट फ़ंक्शन के परिणाम की गणना करें।

Hint: 12 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Wikipedia: Euler's totient function
  2. Rosen, Kenneth H. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2011.
  3. A Friendly Introduction to Number Theory by Joseph H. Silverman
  4. Elementary Number Theory and Its Applications by Kenneth H. Rosen
  5. Rosen, K. H. (2011). Elementary Number Theory and Its Applications (6th ed.). Pearson.