Critère de plasticité de Tresca (théorie de la contrainte de cisaillement maximale) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Le critère de plasticité de Tresca, également appelé théorie de la contrainte de cisaillement maximale, affirme que la plasticité d'un matériau ductile commence lorsque la contrainte de cisaillement maximale dans le matériau atteint une valeur critique. Cette valeur critique est définie comme la moitié de la limite d'élasticité ($\sigma_y$) obtenue lors d'un simple essai de traction uniaxiale. Elle s'exprime par $\tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2 = \sigma_y/2$, où $\sigma_1$ et $\sigma_3$ sont respectivement les contraintes principales maximale et minimale. Ce critère est souvent utilisé pour les matériaux ductiles et fournit une estimation conservative de l'apparition de la plasticité par rapport au critère de Von Mises.

When to use: Utilisez ce critère pour prédire le début de la plasticité dans des matériaux ductiles soumis à des états de contrainte complexes, en particulier lorsqu'une approche de conception conservative est préférable. Il est particulièrement applicable lorsque le comportement du matériau est dominé par la contrainte de cisaillement, comme dans la torsion ou les réservoirs sous pression à paroi mince.

Why it matters: Prédire la plasticité des matériaux est crucial pour garantir l'intégrité structurelle et prévenir les défaillances catastrophiques des composants techniques. Le critère de Tresca permet aux ingénieurs de concevoir des pièces capables de supporter en toute sécurité les charges appliquées sans déformation permanente, ce qui est vital dans des domaines comme le génie mécanique, civil et aérospatial pour des composants allant des arbres aux réservoirs sous pression.

Symbols

Variables

$τ_{ma x}$ = Maximum Shear Stress, $σ_{1}$ = Maximum Principal Stress, $σ_{3}$ = Minimum Principal Stress, $σ_{y}$ = Yield Strength (Uniaxial)

τ_{ma x}

Maximum Shear Stress

MPa

σ_{1}

Maximum Principal Stress

MPa

σ_{3}

Minimum Principal Stress

MPa

σ_{y}

Yield Strength (Uniaxial)

MPa

Walkthrough

Derivation

Formule: Critère de limite élastique de Tresca

Le critère de limite élastique de Tresca stipule que la plastification se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale dans un matériau atteint la moitié de sa limite élastique uniaxiale.

Le matériau est ductile.
Le matériau présente un comportement isotrope (les propriétés sont uniformes dans toutes les directions).
La limite élastique du matériau en compression est égale à sa limite élastique en traction.

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Cercle de Mohr pour la contrainte de cisaillement:

Pour tout état de contrainte 3D général, la contrainte de cisaillement maximale ( $τ_{ma x}$ ) se produit sur des plans à 45 degrés par rapport aux plans principaux et est égale à la moitié de la différence entre les contraintes principales maximale ( $σ_{1}$ ) et minimale ( $σ_{3}$ ). C'est un résultat fondamental de l'analyse du cercle de Mohr.

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}

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Essai de traction uniaxiale:

Considérons un essai de traction uniaxiale simple où un matériau se plastifie à une contrainte $σ_{y}$ . Dans cet état, les contraintes principales sont $σ_{1} = σ_{y}$ , $σ_{2} = 0$ et $σ_{3} = 0$ . L'application de la formule de la contrainte de cisaillement maximale issue du cercle de Mohr à cet état donne $τ_{ma x, y i e l d} = \frac{σ _{y} - 0}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ .

σ_{1} = σ_{y}, σ_{2} = 0, σ_{3} = 0

3

Formulation du critère de Tresca:

Le critère de Tresca postule que la plastification dans tout état de contrainte général se produira lorsque la contrainte de cisaillement maximale ( $τ_{ma x}$ ) dans cet état atteint la même valeur critique que celle observée lors de la plastification uniaxiale. Par conséquent, la condition pour la plastification est $\frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}$ .

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Result

τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{σ _{y}}{2}

Source: Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2012). Mechanics of Materials (6th ed.). McGraw-Hill. Chapter 8: Theories of Failure.

Visual intuition

Graph

Le graphique est une ligne droite avec une pente positive, indiquant que la contrainte de cisaillement maximale augmente régulièrement à mesure que la contrainte principale maximale augmente. Pour un étudiant en ingénierie, cette relation linéaire signifie que doubler la contrainte principale maximale entraîne une augmentation proportionnelle de la contrainte de cisaillement maximale, soulignant comment les états de contrainte influencent directement la rupture du matériau. La caractéristique la plus importante de cette courbe est que la relation constante entre les variables reste inchangée quelle que soit l'amplitude des contraintes, démontrant une transition prévisible et cohérente vers la limite d'élasticité.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Le critère de Tresca visualise la plastification du matériau comme se produisant lorsque le rayon du plus grand cercle de Mohr (représentant la contrainte de cisaillement maximale)

Term

Contrainte de cisaillement maximale subie au sein du matériau

Il s'agit de la force de « coupure » ou de « glissement » par unité de surface la plus grande agissant en interne. Lorsqu'elle dépasse une valeur critique, le matériau se plastifie.

Term

Contrainte principale maximale

La contrainte normale (traction ou compression) la plus élevée agissant sur un plan où la contrainte de cisaillement est nulle. Elle représente la force de traction ou de poussée la plus extrême au sein du matériau.

Term

Contrainte principale minimale

La contrainte normale (traction ou compression) la plus faible agissant sur un plan où la contrainte de cisaillement est nulle. Elle représente la force de traction ou de poussée la moins extrême au sein du matériau.

Term

Limite élastique du matériau issue d'un essai de traction uniaxiale

Le niveau de contrainte auquel un matériau commence à se déformer plastiquement (de manière permanente) lorsqu'il est tiré dans une direction. Elle sert de référence pour la limite de résistance du matériau avant déformation permanente.

Signs and relationships

(\sigma_1 - \sigma_3): Cette différence représente le diamètre du plus grand cercle de Mohr pour l'état de contrainte donné. Une différence plus grande indique une gamme plus large de contraintes normales, ce qui correspond directement à un cisaillement maximal plus important
/2: La division par deux de la différence entre les contraintes principales maximale et minimale donne le rayon du plus grand cercle de Mohr, qui est précisément la contrainte de cisaillement maximale.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Tous les termes du critère de Tresca représentent une contrainte et doivent être exprimés dans des unités cohérentes de force par unité de surface pour maintenir l'homogénéité dimensionnelle.

Dimension note

Cette équation n'est pas sans dimension ; c'est une relation entre des grandeurs de contrainte.

Ballpark figures

Quantity:

Where it shows up

Real-World Context

Les ingénieurs concevant les assemblages de roues de montagnes russes doivent s'assurer que les essieux en acier ne subissent pas de déformation permanente lors des virages à forte accélération (G). En calculant les contraintes induites par le poids du train et les forces centrifuges, ils garantissent que le matériau de l'essieu reste dans sa limite élastique.

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Tips

Identifiez toujours correctement les contraintes principales ( $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ ) et assurez-vous que $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ pour un calcul précis de la contrainte de cisaillement maximale.
Le critère de Tresca est généralement plus conservateur que le critère de Von Mises, ce qui signifie qu'il prédit la plasticité à des niveaux de contrainte plus faibles.
Rappelez-vous que $σ_{y}$ est la limite d'élasticité obtenue lors d'un essai de traction uniaxiale.
Assurez-vous que toutes les valeurs de contrainte utilisent des unités cohérentes.

Common questions

Frequently Asked Questions

Le critère de limite élastique de Tresca stipule que la plastification se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale dans un matériau atteint la moitié de sa limite élastique uniaxiale.

Utilisez ce critère pour prédire le début de la plasticité dans des matériaux ductiles soumis à des états de contrainte complexes, en particulier lorsqu'une approche de conception conservative est préférable. Il est particulièrement applicable lorsque le comportement du matériau est dominé par la contrainte de cisaillement, comme dans la torsion ou les réservoirs sous pression à paroi mince.

Prédire la plasticité des matériaux est crucial pour garantir l'intégrité structurelle et prévenir les défaillances catastrophiques des composants techniques. Le critère de Tresca permet aux ingénieurs de concevoir des pièces capables de supporter en toute sécurité les charges appliquées sans déformation permanente, ce qui est vital dans des domaines comme le génie mécanique, civil et aérospatial pour des composants allant des arbres aux réservoirs sous pression.

Les ingénieurs concevant les assemblages de roues de montagnes russes doivent s'assurer que les essieux en acier ne subissent pas de déformation permanente lors des virages à forte accélération (G). En calculant les contraintes induites par le poids du train et les forces centrifuges, ils garantissent que le matériau de l'essieu reste dans sa limite élastique.

Identifiez toujours correctement les contraintes principales ($\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$) et assurez-vous que $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ pour un calcul précis de la contrainte de cisaillement maximale. Le critère de Tresca est généralement plus conservateur que le critère de Von Mises, ce qui signifie qu'il prédit la plasticité à des niveaux de contrainte plus faibles. Rappelez-vous que $\sigma_y$ est la limite d'élasticité obtenue lors d'un essai de traction uniaxiale. Assurez-vous que toutes les valeurs de contrainte utilisent des unités cohérentes.

References

Sources

Mechanics of Materials by Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, and David F. Mazurek
Mechanics of Materials by R. C. Hibbeler
Wikipedia: Tresca criterion
Shigley's Mechanical Engineering Design
Mechanics of Materials (Hibbeler)
Wikipedia: Tresca yield criterion
Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek
Fundamentals of Machine Component Design by Juvinall and Marshek