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Première loi de la thermodynamique (système ouvert, écoulement permanent)

Quantifie le bilan énergétique d'un système ouvert fonctionnant en régime d'écoulement permanent.

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\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

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Core idea

Overview

La première loi de la thermodynamique pour les systèmes ouverts, également appelée équation de l'énergie en régime permanent, est un principe fondamental affirmant que l'énergie se conserve. Pour un système en écoulement permanent, le taux d'énergie entrant dans le système doit être égal au taux d'énergie sortant du système plus le taux d'accumulation d'énergie dans le système (qui est nul à l'état permanent). Cette équation tient compte du transfert de chaleur, du transfert de travail et de l'énergie transportée par l'écoulement massique, y compris les composantes d'enthalpie, d'énergie cinétique et d'énergie potentielle. Pour les besoins de ce calculateur, on suppose une seule entrée et une seule sortie.

When to use: Appliquez cette équation pour analyser des dispositifs comme des turbines, des compresseurs, des tuyères, des diffuseurs, des échangeurs thermiques et des pompes, où la masse entre et sort d'un volume de contrôle. Elle est cruciale pour calculer les taux de transfert d'énergie, déterminer des propriétés fluides inconnues à l'entrée ou à la sortie, ou dimensionner des composants dans des centrales électriques et des cycles frigorifiques. Assurez-vous que le système est à l'état permanent et identifiez toutes les interactions énergétiques.

Why it matters: Cette loi constitue la base de la conception et de l'analyse des systèmes thermiques en ingénierie. Elle permet aux ingénieurs de prédire les performances, d'optimiser le rendement et de résoudre des problèmes énergétiques dans une vaste gamme d'applications, de la production d'électricité aux systèmes CVC et aux procédés chimiques. Sa maîtrise est essentielle pour développer des solutions énergétiques durables et efficaces.

Symbols

Variables

$\dot{Q}$ = Heat Transfer Rate, $\dot{W}$ = Work Transfer Rate, $\overset{m}{˙}$ = Mass Flow Rate, $h_{in}$ = Specific Enthalpy (Inlet), $h_{o u t}$ = Specific Enthalpy (Outlet)

\dot{Q}

Heat Transfer Rate

\dot{W}

Work Transfer Rate

\overset{m}{˙}

Mass Flow Rate

kg/s

h_{in}

Specific Enthalpy (Inlet)

kJ/kg

h_{o u t}

Specific Enthalpy (Outlet)

kJ/kg

V_{in}

Velocity (Inlet)

m/s

V_{o u t}

Velocity (Outlet)

m/s

g

Gravitational Acceleration

m/s²

z_{in}

Elevation (Inlet)

m

z_{o u t}

Elevation (Outlet)

m

Walkthrough

Derivation

Formule: Première loi de la thermodynamique (Système ouvert, régime permanent)

La première loi de la thermodynamique pour les systèmes ouverts stipule que le taux d'énergie entrant dans un volume de contrôle est égal au taux d'énergie en sortant, plus toute accumulation, dans des conditions de régime permanent.

Le système fonctionne dans des conditions de régime permanent (les propriétés en tout point ne changent pas avec le temps).
Le volume de contrôle est fixe dans l'espace.
Une seule entrée et une seule sortie sont considérées pour simplifier, mais le principe s'étend à plusieurs flux.
Le transfert d'énergie se produit via la chaleur, le travail et le débit massique.

Commencer par le bilan énergétique général:

Le taux de variation de l'énergie dans le volume de contrôle ( $E_{C V}$ ) est égal au taux net de transfert thermique entrant, moins le taux net de travail effectué, plus le taux net d'énergie transportée par le débit massique.

\frac{d E _{C V}}{d t} = \dot{Q} - \dot{W} + in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Appliquer la condition de régime permanent:

Pour le régime permanent, les propriétés dans le volume de contrôle ne changent pas avec le temps, donc le taux d'accumulation d'énergie est nul.

\frac{d E _{C V}}{d t} = 0

Réorganiser pour l'équation de l'énergie en régime permanent:

Substituez la condition de régime permanent dans l'équation du bilan énergétique général.

0 = \dot{Q} - \dot{W} + in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Forme finale (telle que présentée):

Réorganisez l'équation pour isoler les termes de transfert thermique et de travail net d'un côté, montrant qu'ils équilibrent l'énergie nette transportée par le débit massique. Cette forme est particulièrement utile pour analyser les dispositifs d'ingénierie avec des entrées et des sorties.

\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Result

\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Source: Cengel, Y. A., & Boles, M. A. (2015). Thermodynamics: An Engineering Approach (8th ed.). McGraw-Hill Education.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\dot{Q}$

Isoler $\dot{Q}$

\dot{Q} = \dot{W} + \overset{m}{˙} [(h_{o u t} - h_{in}) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})]

Pour faire de $\dot{Q}$ (taux de transfert de chaleur) le sujet, déplacez le terme de transfert de travail vers le côté droit de l'équation.

Difficulty: 3/5

Solve for $\dot{W}$

Isoler $\dot{W}$

\dot{W} = \dot{Q} - \overset{m}{˙} [(h_{o u t} - h_{in}) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})]

Pour faire de $\dot{W}$ (taux de travail effectué) le sujet, réorganisez l'équation pour isoler le stage.

Difficulty: 3/5

Solve for $\overset{m}{˙}$

Isoler $\overset{m}{˙}$

\overset{m}{˙} = \frac{Q ˙ - W ˙}{( h _{o u t} - h _{in} ) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g ( z _{o u t} - z _{in} )}

Pour faire de $\overset{m}{˙}$ (débit massique) le sujet, divisez le transfert d'énergie net par le changement d'énergie spécifique par unité de masse.

Difficulty: 4/5

Solve for $h_{in}$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Mettre $h_{in}$ en sujet.

h_{in} = h_{o u t} - \frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})

Pour isoler $h_{in}$ , l'enthalpie spécifique à l'entrée, isole le terme de différence d'enthalpie, puis résous pour $h_{in}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $h_{o u t}$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Mettre $h_{o u t}$ en sujet.

h_{o u t} = h_{in} + \frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} - g (z_{o u t} - z_{in})

Pour isoler $h_{o u t}$ , l'enthalpie spécifique à la sortie, isole le terme de différence d'enthalpie, puis résous pour $h_{o u t}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $V_{in}$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Exprimer $V_{in}$ en fonction des autres variables

V_{in} = V_{o u t}^{2} - 2 (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - g (z_{o u t} - z_{in}))

Pour faire de $V_{in}$ (vitesse à l'entrée) le sujet, isolez le terme d'énergie cinétique, puis résolvez pour $V_{in}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $V_{o u t}$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Exprimer $V_{o u t}$ en fonction des autres variables

V_{o u t} = V_{in}^{2} + 2 (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - g (z_{o u t} - z_{in}))

Pour faire de $V_{o u t}$ (vitesse à la sortie) le sujet, isolez le terme d'énergie cinétique, puis résolvez pour $V_{o u t}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $g$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Exprimer $g$ en fonction des autres variables

g = \frac{1}{z _{o u t} - z _{in}} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

Pour faire de $g$ (accélération gravitationnelle) le sujet, isolez le terme d'énergie potentielle, puis résolvez $g$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $z_{in}$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Exprimer $z_{in}$ en fonction des autres variables

z_{in} = z_{o u t} - \frac{1}{g} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

Pour faire de $z_{in}$ (élévation à l'entrée) le sujet, isolez le terme d'énergie potentielle, puis résolvez pour $z_{in}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $z_{o u t}$

Première loi de la thermodynamique (système ouvert) : Exprimer $z_{o u t}$ en fonction des autres variables

z_{o u t} = z_{in} + \frac{1}{g} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

Pour faire de $z_{o u t}$ (élévation à la sortie) le sujet, isolez le terme d'énergie potentielle, puis résolvez pour $z_{o u t}$ .

Difficulty: 4/5

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Visual intuition

Graph

Le graphique montre une ligne droite où le taux de transfert de chaleur varie proportionnellement au débit massique, la pente étant déterminée par les différences combinées d'enthalpie, d'énergie cinétique et d'énergie potentielle. Pour un étudiant en ingénierie, cette relation linéaire signifie qu'augmenter le débit massique nécessite une augmentation proportionnelle du transfert de chaleur pour maintenir l'équilibre énergétique, où les petites valeurs représentent des systèmes à faible débit et les grandes valeurs des processus industriels à haute capacité. La caractéristique la plus importante de cette courbe est que la relation linéaire signifie que doubler le débit massique doublera exactement le taux de transfert de chaleur, à condition que le transfert de travail et les différences d'énergie restent constants.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Visualisez une boîte fixe et imaginaire (volume de contrôle) à travers laquelle le fluide s'écoule continuellement, tandis que la chaleur et le travail traversent simultanément ses limites, le tout de manière stable et immuable.

Term

Taux de transfert thermique dans le volume de contrôle

La chaleur ajoutée au système augmente son énergie totale; la chaleur retirée la diminue.

Term

Taux de travail effectué par le volume de contrôle

Le travail effectué *by* le système (ex: une turbine) retire de l'énergie; le travail effectué *on* le système (ex: un compresseur) en ajoute.

Term

Débit massique

Représente combien de masse, et donc combien d'énergie associée, traverse la limite par unité de temps.

Term

Enthalpie spécifique du fluide

Combine l'énergie interne du fluide avec le « travail d'écoulement » (énergie nécessaire pour pousser le fluide à travers la limite), représentant le contenu énergétique total par unité de masse du fluide en écoulement.

Term

Énergie cinétique spécifique du fluide

Énergie par unité de masse due au mouvement global du fluide; un fluide plus rapide transporte plus d'énergie cinétique.

Term

Énergie potentielle spécifique du fluide

Énergie par unité de masse due à l'élévation du fluide dans un champ gravitationnel; un fluide plus haut transporte plus d'énergie potentielle.

Term

Sommation sur toutes les sorties

Prend en compte l'énergie totale transportée hors du système par tous les flux massiques sortants.

Term

Sommation sur toutes les entrées

Prend en compte l'énergie totale transportée dans le système par tous les flux massiques entrants.

Signs and relationships

-\dot{W}: Le signe négatif indique que le travail effectué *by* le système (ex: une turbine produisant de la puissance) retire de l'énergie du volume de contrôle. Si du travail était effectué *on* le système (ex: un compresseur), $\dot{W}$ serait négatif
-\sum_{in} \dot{m} (h + \frac{V^2}{2} + gz): Ce terme représente le taux d'énergie *entering* le volume de contrôle via le débit massique. Comme le côté droit de l'équation représente l'énergie nette *leaving* le système via le débit massique (énergie sortante moins énergie entrante), le

Free study cues

Insight

Canonical usage

L'équation équilibre les taux de transfert d'énergie (puissance) avec la variation nette d'énergie transportée par le flux de masse, nécessitant des unités cohérentes pour la puissance et l'énergie massique spécifique.

Dimension note

Cette équation n'est pas sans dimension ; c'est un bilan de puissance (Énergie/Temps).

One free problem

Practice Problem

Une turbine à vapeur fonctionne en régime permanent. La vapeur entre avec une enthalpie de 2800 kJ/kg et une vitesse de 50 m/s à une altitude de 10 m. Elle sort avec une enthalpie de 2600 kJ/kg et une vitesse de 150 m/s à une altitude de 5 m. Le débit massique est de 2 kg/s, et la turbine produit 50 kW de travail. Calculez le taux de transfert thermique vers ou depuis la turbine.

Hint: N'oubliez pas de convertir les termes d'énergie cinétique et potentielle en kJ/kg en divisant par 1000.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Analyser la puissance fournie par une turbine à vapeur dans une centrale électrique ou la capacité de refroidissement d'un compresseur de cycle frigorifique.

Study smarter

Tips

Assurez-vous toujours de la cohérence des unités (par exemple kJ/s pour la puissance, kJ/kg pour l'enthalpie massique, m/s pour la vitesse).
Définissez soigneusement votre volume de contrôle et identifiez toutes les entrées et sorties.
Faites attention à la convention de signe pour la chaleur et le travail (la chaleur ajoutée au système est positive, le travail fourni par le système est positif).
Simplifiez les termes si les variations d'énergie cinétique ou potentielle sont négligeables (par exemple pour les échangeurs thermiques ou les fluides à faible vitesse).

Avoid these traps

Common Mistakes

Appliquer incorrectement les conventions de signe pour la chaleur et le travail.
Oublier d'inclure toutes les formes d'énergie (enthalpie, énergie cinétique, énergie potentielle) ou supposer qu'elles sont négligeables alors qu'elles ne le sont pas.
Mélanger les unités (par exemple utiliser des kJ pour l'enthalpie et des J pour l'énergie cinétique sans conversion).
Appliquer l'équation à des systèmes en écoulement instationnaire sans modification.

Common questions

Frequently Asked Questions

Appliquez cette équation pour analyser des dispositifs comme des turbines, des compresseurs, des tuyères, des diffuseurs, des échangeurs thermiques et des pompes, où la masse entre et sort d'un volume de contrôle. Elle est cruciale pour calculer les taux de transfert d'énergie, déterminer des propriétés fluides inconnues à l'entrée ou à la sortie, ou dimensionner des composants dans des centrales électriques et des cycles frigorifiques. Assurez-vous que le système est à l'état permanent et identifiez toutes les interactions énergétiques.

Cette loi constitue la base de la conception et de l'analyse des systèmes thermiques en ingénierie. Elle permet aux ingénieurs de prédire les performances, d'optimiser le rendement et de résoudre des problèmes énergétiques dans une vaste gamme d'applications, de la production d'électricité aux systèmes CVC et aux procédés chimiques. Sa maîtrise est essentielle pour développer des solutions énergétiques durables et efficaces.

Appliquer incorrectement les conventions de signe pour la chaleur et le travail. Oublier d'inclure toutes les formes d'énergie (enthalpie, énergie cinétique, énergie potentielle) ou supposer qu'elles sont négligeables alors qu'elles ne le sont pas. Mélanger les unités (par exemple utiliser des kJ pour l'enthalpie et des J pour l'énergie cinétique sans conversion). Appliquer l'équation à des systèmes en écoulement instationnaire sans modification.

Analyser la puissance fournie par une turbine à vapeur dans une centrale électrique ou la capacité de refroidissement d'un compresseur de cycle frigorifique.

Assurez-vous toujours de la cohérence des unités (par exemple kJ/s pour la puissance, kJ/kg pour l'enthalpie massique, m/s pour la vitesse). Définissez soigneusement votre volume de contrôle et identifiez toutes les entrées et sorties. Faites attention à la convention de signe pour la chaleur et le travail (la chaleur ajoutée au système est positive, le travail fourni par le système est positif). Simplifiez les termes si les variations d'énergie cinétique ou potentielle sont négligeables (par exemple pour les échangeurs thermiques ou les fluides à faible vitesse).

References

Sources

Fundamentals of Heat and Mass Transfer by Incropera, DeWitt, Bergman, Lavine, 7th Edition
Thermodynamics: An Engineering Approach by Yunus A. Cengel and Michael A. Boles, 8th Edition
Transport Phenomena by R. Byron Bird, Warren E. Stewart, and Edwin N. Lightfoot, 2nd Edition
Wikipedia: First law of thermodynamics
Moran & Shapiro, Fundamentals of Engineering Thermodynamics
Cengel & Boles, Thermodynamics: An Engineering Approach
NIST CODATA
Cengel and Boles Thermodynamics: An Engineering Approach

Première loi de la thermodynamique (système ouvert, écoulement permanent)

Overview

Variables

Derivation

Commencer par le bilan énergétique général:

Appliquer la condition de régime permanent:

Réorganiser pour l'équation de l'énergie en régime permanent:

Forme finale (telle que présentée):

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

First Law of Thermodynamics (Closed System)

Bernoulli's Equation

Continuity Equation

Frequently Asked Questions

Sources