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Équation de Darcy-Weisbach

L'équation de Darcy-Weisbach calcule la perte de charge totale dans un tuyau circulaire due à la résistance par frottement et aux pertes singulières.

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H_{L 12} = {\frac{2 ⟨ v ⟩ ^{2}}{D g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})] \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [(i \sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (i \sum e_{v, i})]

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Core idea

Overview

Cette équation relie la perte d'énergie d'un fluide s'écoulant dans un tuyau à la vitesse moyenne ou au débit volumétrique, à la géométrie du tuyau et au facteur de friction. Elle prend en compte les pertes majeures causées par le frottement des parois du tuyau sur toute la longueur et les pertes singulières résultant des raccords, des vannes et des changements de géométrie du tuyau. La formulation est applicable aux régimes d'écoulement laminaire et turbulent, à condition que le facteur de friction approprié soit déterminé.

When to use: Utilisez cette équation pour déterminer la perte de charge ou la perte d'énergie dans un système d'écoulement complètement développé dans un conduit circulaire.

Why it matters: C'est l'outil fondamental pour la conception des systèmes de tuyauterie, garantissant que les pompes sont correctement dimensionnées pour surmonter la résistance et maintenir les débits requis.

Symbols

Variables

$H_{L 12}$ = $H_{L 12}$

H_{L 12}

H_{L12}

Variable

Walkthrough

Derivation

Dérivation de l'équation de Darcy-Weisbach

L'équation de Darcy-Weisbach relie la perte de charge totale dans un système de tuyauterie aux pertes par frottement et aux pertes singulières. Elle est dérivée en combinant la dissipation d'énergie due à la contrainte de cisaillement pariétale avec les pertes d'énergie causées par les raccords et les changements de géométrie.

Le fluide est incompressible.
L'écoulement est pleinement développé dans les sections de tuyau.
Le tuyau est circulaire avec un diamètre constant D.
Les pertes singulières sont additives et proportionnelles à la hauteur dynamique.

Forme fondamentale de Darcy-Weisbach

C'est le fondement empirique de la perte de charge par frottement ( $H_{f}$ ) dans un tuyau de longueur L et de diamètre D, où f est le coefficient de frottement de Darcy et v est la vitesse moyenne.

H_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v ^{2}}{2 g}

Note: Le coefficient de frottement f est sans dimension et dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité du tuyau.

Incorporation des pertes singulières

La perte de charge totale ( $H_{L 12}$ ) est la somme des pertes par frottement sur la longueur totale et des pertes singulières ( $H_{min or}$ ) représentées par des coefficients de perte $e_{v, i}$ multipliés par la charge de vitesse.

H_{L 12} = H_{f} + \sum H_{min or} = f \frac{( \sum L _{i} )}{D} \frac{v ^{2}}{2 g} + \sum (e_{v, i} \frac{v ^{2}}{2 g})

Note: Les pertes singulières représentent la dissipation d'énergie au niveau des vannes, des coudes et des transitions.

Factorisation de la charge de vitesse

En factorisant le terme de charge de vitesse, nous regroupons les composantes de perte par frottement et de perte singulière. L'expression est réarrangée pour correspondre à la structure de formule demandée.

H_{L 12} = \frac{v ^{2}}{2 g} [\frac{( \sum L _{i} ) f}{D} + \sum e_{v, i}] = \frac{v ^{2}}{D 2 g} [(\sum L_{i}) f + \frac{D}{4} (4 \sum e_{v, i})]

Note: Assurez-vous que les unités sont cohérentes ; v est la vitesse moyenne ⟨v⟩.

Conversion en débit volumique

En substituant l'équation de continuité v = Q/A, on peut exprimer la perte de charge en fonction du débit volumique Q au lieu de la vitesse moyenne.

v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π D ^{2} /4} = \frac{4 Q}{π D ^{2}} ⟹ v^{2} = \frac{16 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{4}}

Note: Ceci est utile lorsque le débit est connu plutôt que la vitesse.

Substitution finale

En substituant l'expression de $v^{2}$ dans la formule basée sur la vitesse, on obtient la formule basée sur le débit.

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Note: Le terme $D^{5}$ au dénominateur met en évidence la grande sensibilité de la perte de charge au diamètre du tuyau.

Result

H_{L 12} = \frac{2 ( 16 Q ^{2} / π ^{2} D ^{4} )}{D g} [...] = \frac{32 Q ^{2}}{π ^{2} D ^{5} g} [...]

Why it behaves this way

Intuition

Pour un tuyau de 200 m, 0,4 m de diamètre, débit 0,2 m³/s, f=0,022, $e_{v}$ =0,08, g=9,81 m/s²: $H_{L}$ = 12,3 m. L'image physique consiste à suivre le paramètre qui fixe l'échelle, celui qui modifie la tendance et les hypothèses nécessaires pour interpréter correctement le résultat.

Term

Sens physique: Cette équation relie la perte d'énergie d'un fluide s'écoulant dans un tuyau à la vitesse moyenne ou au débit volumétrique, à la géométrie du tuyau et au facteur de friction. Elle prend en compte les pertes majeures causées par le frottement des parois du tuyau sur toute la longueur et les pertes singulières résultant des raccords, des vannes et des changements de géométrie du tuyau. La formulation est applicable aux régimes d'écoulement laminaire et turbulent, à condition que le facteur de friction approprié soit déterminé.

Pour premier terme, dans Derivation of Darcy-Weisbach Equation, cette grandeur se lit comme la contribution premier du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Facteur de frottement de Darcy

Pour deuxième terme, dans Derivation of Darcy-Weisbach Equation, cette grandeur se lit comme la contribution deuxième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Longueur des segments de tuyau

Intuition: Pompage des stations d'épuration.

Term

Coefficient de perte singulière (K)

Pour quatrième terme, dans Derivation of Darcy-Weisbach Equation, cette grandeur se lit comme la contribution quatrième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Diamètre interne du tuyau

Pour cinquième terme, dans Derivation of Darcy-Weisbach Equation, cette grandeur se lit comme la contribution cinquième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Débit volumique

Pour sixième terme, dans Derivation of Darcy-Weisbach Equation, cette grandeur se lit comme la contribution sixième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Term

Accélération due à la gravité

Pour septième terme, dans Derivation of Darcy-Weisbach Equation, cette grandeur se lit comme la contribution septième du modèle; elle modifie l'échelle, le sens ou la normalisation du résultat selon les autres hypothèses.

Signs and relationships

f * sum(L_i): Pourquoi: Étant donné que la perte de charge est proportionnelle à $Q^{2}$ / $D^{5}$ , le doublement du diamètre (D) entraîne une augmentation du dénominateur de 2^5 = 32, réduisant ainsi la perte de charge d'un facteur 32.
D/4 * sum(e_{v, i}): Pourquoi: Pour un tuyau de 200 m, 0,4 m de diamètre, débit 0,2 m³/s, f=0,022, $e_{v}$ =0,08, g=9,81 m/s²: $H_{L}$ = 12,3 m.
1/D^5: Pourquoi: Les systèmes CVC utilisent de l'eau ou du glycol circulant dans des tuyaux pour transférer l'énergie thermique. L'efficacité du système dépend de la minimisation de la puissance de pompage.

One free problem

Practice Problem

Dans un système de tuyauterie horizontal, si le diamètre du tuyau est doublé alors que le débit volumétrique reste constant, comment la perte de charge due au frottement change-t-elle, en supposant que le facteur de friction reste constant ?

Hint: Examinez la dépendance de la formule de perte de charge par rapport au diamètre D dans le terme impliquant $Q^{2}$ / $D^{5}$ .

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Les systèmes de distribution d'eau municipaux utilisent cette équation pour calculer la charge de pompe requise pour transporter l'eau d'une usine de traitement vers des réservoirs de stockage élevés, en tenant compte du frottement du tuyau et des pertes dues aux vannes.

Study smarter

Tips

Assurez-vous que le facteur de friction utilisé est cohérent avec le nombre de Reynolds de l'écoulement.
Vérifiez que tous les coefficients de perte singulière sont définis sur la base de la même charge de vitesse.
Vérifiez que les unités de longueur, de diamètre et de gravité sont cohérentes tout au long du calcul.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confondre le facteur de friction de Darcy avec le facteur de friction de Fanning (qui est quatre fois plus petit).
Négliger la variation du facteur de friction avec le nombre de Reynolds en régime d'écoulement turbulent.

Common questions

Frequently Asked Questions

Utilisez cette équation pour déterminer la perte de charge ou la perte d'énergie dans un système d'écoulement complètement développé dans un conduit circulaire.

C'est l'outil fondamental pour la conception des systèmes de tuyauterie, garantissant que les pompes sont correctement dimensionnées pour surmonter la résistance et maintenir les débits requis.

Confondre le facteur de friction de Darcy avec le facteur de friction de Fanning (qui est quatre fois plus petit). Négliger la variation du facteur de friction avec le nombre de Reynolds en régime d'écoulement turbulent.

Assurez-vous que le facteur de friction utilisé est cohérent avec le nombre de Reynolds de l'écoulement. Vérifiez que tous les coefficients de perte singulière sont définis sur la base de la même charge de vitesse. Vérifiez que les unités de longueur, de diamètre et de gravité sont cohérentes tout au long du calcul.

References

Sources

Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2006). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
White, F. M. (2011). Fluid Mechanics. McGraw-Hill.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Darcy–Weisbach equation
NIST Chemistry WebBook
Britannica
Engineering Fluid Mechanics by Clayton T. Crowe, Donald F. Elger, John A. Roberson

Équation de Darcy-Weisbach

Overview

Variables

Derivation

Forme fondamentale de Darcy-Weisbach

Incorporation des pertes singulières

Factorisation de la charge de vitesse

Conversion en débit volumique

Substitution finale

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Reynolds Number

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