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Théorème de convolution (Laplace)

Énonce que la transformée de Laplace d’une convolution de deux fonctions est le produit de leurs transformées individuelles.

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Core idea

Overview

Ce théorème fournit une méthode puissante pour trouver des transformées de Laplace inverses de produits de fonctions en utilisant l’intégrale de convolution.

When to use: Essentiel pour résoudre des équations différentielles non homogènes et analyser des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI).

Why it matters: Il convertit l’opération complexe de convolution dans le domaine temporel en une simple multiplication algébrique dans le domaine fréquentiel (s).

Symbols

Variables

F(s)G(s) = L{f * g}, F(s) = F(s), G(s) = G(s)

F(s)G(s)
L{f * g}
Transform of the convolution
F(s)
F(s)
Transform of the first function
G(s)
G(s)
Transform of the second function

Walkthrough

Derivation

Dérivation/Compréhension du théorème de convolution (Laplace)

Cette dérivation démontre que la transformée de Laplace de la convolution de deux fonctions est équivalente au produit de leurs transformées de Laplace individuelles.

  • Les fonctions f(t) et g(t) sont continues par morceaux sur [0, ∞) et d'ordre exponentiel.
  • Les transformées de Laplace F(s) = ℬ{f(t)} et G(s) = ℬ{g(t)} existent.
  • L'ordre d'intégration peut être interchangé (le théorème de Fubini s'applique).
1

Commencer avec la définition de la transformée de Laplace d'une convolution :

Nous commençons par appliquer la définition de la transformée de Laplace à la convolution de deux fonctions, f(t) et g(t), qui est elle-même une intégrale.

2

Changer l'ordre d'intégration :

La région d'intégration est 0 ≤ τ ≤ t < ∞. En changeant l'ordre d'intégration, nous réécrivons les bornes pour intégrer par rapport à t d'abord, puis τ.

3

Effectuer une substitution dans l'intégrale intérieure :

Soit u = t - τ, donc t = u + τ et dt = du. Cette substitution transforme l'intégrale intérieure en une forme qui ressemble à une transformée de Laplace.

4

Reconnaître les transformées de Laplace :

L'intégrale intérieure est la définition de G(s) = ℬ{g(t)}. Factoriser G(s) laisse la définition de F(s) = ℬ{f(t)}, prouvant ainsi le théorème.

Result

Source: Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for F(s)G(s)

Isoler F(s)G(s)

Partez du théorème de convolution (Laplace). L'expression F(s)G(s) est déjà isolée, la tâche consiste donc à l'identifier comme sujet et à la présenter dans la notation cible.

Difficulty: 1/5

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Visual intuition

Graph

Graph type: exponential

Why it behaves this way

Intuition

Ce théorème offre une perspective puissante de « transformation de domaine », où une opération complexe comme la convolution dans le domaine temporel est simplifiée en une multiplication algébrique directe dans le domaine fréquentiel.

Term
L'opérateur de transformée de Laplace, qui convertit une fonction du domaine temporel (t) au domaine fréquentiel complexe (s).
C'est comme traduire le comportement d'un signal au fil du temps en ses composantes fréquentielles, révélant son « empreinte » spectrale.
Term
L'intégrale de convolution de deux fonctions, f(t) et g(t). Elle décrit comment la forme d'une fonction modifie la forme d'une autre, représentant souvent la sortie d'un système linéaire.
Imaginez « mélanger » ou « étaler » une fonction sur une autre, où la seconde fonction dicte la pondération ou l'influence à chaque point.
Term
La transformée de Laplace de la fonction f(t), représentant f(t) dans le domaine fréquentiel complexe.
Ceci est la « signature » dans le domaine fréquentiel de f(t), détaillant ses fréquences constitutives plutôt que son évolution temporelle.
Term
La transformée de Laplace de la fonction g(t), représentant g(t) dans le domaine fréquentiel complexe.
Similaire à F(s), ceci est la « signature » dans le domaine fréquentiel de g(t).

Free study cues

Insight

Canonical usage

Assure la cohérence dimensionnelle entre la transformée de Laplace d'une convolution et le produit des transformées de Laplace individuelles, où les unités de la variable de Laplace 's' sont l'inverse du temps.

One free problem

Practice Problem

Étant données les transformées individuelles F(s) = 4 et G(s) = 8, calculez la transformée de Laplace de la convolution (f * g)(t).

Hint: D’après le théorème, la transformée de la convolution est simplement le produit des transformées individuelles.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En traitement du signal, la sortie d’un système est la convolution de son signal d’entrée et de sa réponse impulsionnelle ; ce théorème permet de trouver la sortie à l’aide d’une multiplication dans le domaine s.

Study smarter

Tips

  • La convolution f * g est définie comme l’intégrale de 0 à t de f(τ)g(t-τ) dτ.
  • Rappelez-vous que la convolution est commutative, ce qui signifie f * g = g * f.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Confondre la convolution f*g avec le produit ponctuel f(t)g(t).
  • Oublier que le théorème ne s’applique que si les transformées F(s) et G(s) existent dans la même région de convergence.

Common questions

Frequently Asked Questions

Cette dérivation démontre que la transformée de Laplace de la convolution de deux fonctions est équivalente au produit de leurs transformées de Laplace individuelles.

Essentiel pour résoudre des équations différentielles non homogènes et analyser des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI).

Il convertit l’opération complexe de convolution dans le domaine temporel en une simple multiplication algébrique dans le domaine fréquentiel (s).

Confondre la convolution f*g avec le produit ponctuel f(t)g(t). Oublier que le théorème ne s’applique que si les transformées F(s) et G(s) existent dans la même région de convergence.

En traitement du signal, la sortie d’un système est la convolution de son signal d’entrée et de sa réponse impulsionnelle ; ce théorème permet de trouver la sortie à l’aide d’une multiplication dans le domaine s.

La convolution f * g est définie comme l’intégrale de 0 à t de f(τ)g(t-τ) dτ. Rappelez-vous que la convolution est commutative, ce qui signifie f * g = g * f.

References

Sources

  1. Advanced Engineering Mathematics
  2. Wikipedia: Laplace transform
  3. Differential Equations with Boundary-Value Problems by Dennis G. Zill
  4. Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Differential Equations with Boundary-Value Problems.
  5. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics.
  6. Wikipedia: Convolution theorem
  7. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
  8. Boyce, DiPrima, and Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems