Règle de la chaîne

Core idea

Overview

La règle de la chaîne est une formule fondamentale du calcul utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction composée. Elle établit que la dérivée d'une fonction imbriquée est le produit de la dérivée de la fonction extérieure et de la dérivée de la fonction intérieure.

When to use: Appliquez cette règle lorsque vous devez dériver une fonction composée d'autres fonctions, souvent décrite comme une fonction dans une fonction. Elle est nécessaire pour les expressions impliquant des puissances de polynômes, des fonctions trigonométriques à arguments complexes, ou des fonctions exponentielles dont l'exposant est lui-même une fonction.

Why it matters: Cette règle est à la base de nombreux concepts mathématiques avancés, y compris l'algorithme de rétropropagation utilisé pour entraîner les réseaux de neurones en intelligence artificielle. En physique et en ingénierie, elle permet l'analyse de taux liés, comme la manière dont le volume d'une sphère varie dans le temps à mesure que son rayon s'agrandit.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Total Derivative, $\frac{d y}{d u}$ = Outer Derivative, $\frac{d u}{d x}$ = Inner Derivative

\frac{d y}{d x}

Total Derivative

Variable

\frac{d y}{d u}

Outer Derivative

Variable

\frac{d u}{d x}

Inner Derivative

Variable

Walkthrough

Derivation

Comprendre la règle de la chaîne (théorème de composition)

La règle de la chaîne permet de dériver une fonction composée en multipliant la dérivée de la fonction externe par la dérivée de la fonction interne.

y dépend de u et u dépend de x.
Les deux fonctions sont dérivables.

1

Introduire une variable intermédiaire :

Représentez la fonction interne par u pour séparer la composition en deux étapes.

y = f (g (x)), let u = g (x) ⟹ y = f (u)

2

Énoncer la règle de la chaîne :

Dérivez la fonction externe par rapport à u, puis multipliez par la dérivée de u par rapport à x.

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Note: Une intuition utile est qu'un changement dans x affecte u, qui affecte ensuite y, donc le taux global se multiplie.

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{d y}{d u}$

Isoler dydu

d y d u = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

Réarrange l'équation pour isoler dydu.

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

Isoler dudx

d u d x = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d u}}

Réarrange l'équation pour isoler dudx.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imaginez une chaîne d'événements dans laquelle un petit changement dans « x » provoque d'abord un changement d'échelle dans « u », puis ce changement dans « u » provoque un autre changement d'échelle dans « y » ; le changement total de « y » par rapport à « x » est le produit de ces sensibilités locales.

Term

La vitesse instantanée à laquelle la variable de sortie « y » change par rapport à une modification de la variable indépendante « x ».

La sensibilité de « y » aux changements de « x » directement, représentant le taux de changement global.

Term

La vitesse instantanée à laquelle la sortie « y » de la fonction externe change avec par rapport à un changement dans son entrée immédiate « u ».

Dans quelle mesure la « couche externe » de la fonction est sensible aux changements dans ce qu'elle reçoit directement en entrée.

Term

La vitesse instantanée à laquelle la sortie « u » de la fonction intermédiaire change par rapport à un changement dans son entrée « x ».

Quelle est la sensibilité de la « couche interne » de la fonction aux changements dans sa propre entrée « x ».

Free study cues

Insight

Canonical usage

Utilisée pour assurer la cohérence dimensionnelle lors du calcul des dérivées de fonctions composites, où les unités de la dérivée de la fonction externe multipliées par les unités de la dérivée de la fonction interne doivent

One free problem

Practice Problem

Dans un exercice de calcul impliquant une fonction composée, vous déterminez que la dérivée de la fonction extérieure par rapport à sa variable interne vaut 5, et que la dérivée de cette variable interne par rapport à x vaut 4. Calculez la dérivée totale dy/dx.

Hint: La règle de la chaîne affirme que la dérivée totale est le produit de la dérivée extérieure et de la dérivée intérieure.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Dans le contexte de Vitesse de réaction dépendant de la température dépendant du temps, Règle de la chaîne sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Study smarter

Tips

Identifiez clairement la fonction « intérieure » (u) et la fonction « extérieure » (y) avant de commencer.
Dérivez la couche extérieure en gardant la couche intérieure inchangée, puis multipliez par la dérivée intérieure.
Travaillez de manière systématique de la couche la plus externe vers la plus interne dans les compositions imbriquées.

Avoid these traps

Common Mistakes

Oublier la dérivée intérieure.
Additionner au lieu de multiplier.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

La règle de la chaîne permet de dériver une fonction composée en multipliant la dérivée de la fonction externe par la dérivée de la fonction interne.

Appliquez cette règle lorsque vous devez dériver une fonction composée d'autres fonctions, souvent décrite comme une fonction dans une fonction. Elle est nécessaire pour les expressions impliquant des puissances de polynômes, des fonctions trigonométriques à arguments complexes, ou des fonctions exponentielles dont l'exposant est lui-même une fonction.

Cette règle est à la base de nombreux concepts mathématiques avancés, y compris l'algorithme de rétropropagation utilisé pour entraîner les réseaux de neurones en intelligence artificielle. En physique et en ingénierie, elle permet l'analyse de taux liés, comme la manière dont le volume d'une sphère varie dans le temps à mesure que son rayon s'agrandit.

Oublier la dérivée intérieure. Additionner au lieu de multiplier.

Dans le contexte de Vitesse de réaction dépendant de la température dépendant du temps, Règle de la chaîne sert à transformer les mesures en une valeur interprétable. Le résultat est important parce qu'il aide à relier le calcul à la forme, au taux de variation, à la probabilité ou à la contrainte du modèle.

Identifiez clairement la fonction « intérieure » (u) et la fonction « extérieure » (y) avant de commencer. Dérivez la couche extérieure en gardant la couche intérieure inchangée, puis multipliez par la dérivée intérieure. Travaillez de manière systématique de la couche la plus externe vers la plus interne dans les compositions imbriquées.

References

Sources

Wikipedia: Chain rule
Calculus (8th ed.) by James Stewart
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Thomas' Calculus, 14th Edition, George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass
Calculus, 8th Edition, James Stewart
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Introduire une variable intermédiaire :

Énoncer la règle de la chaîne :

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integration by Substitution

Frequently Asked Questions

Sources