MathematicsÁlgebra LinealUniversity

OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

Teorema del Rango y Nulidad

Relaciona las dimensiones del núcleo y la imagen de una transformación lineal con su espacio de dominio.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

rank (T) + nullity (T) = dim (V)

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

En el contexto de una transformación lineal T: V → W donde V es de dimensión finita, este teorema proporciona una restricción fundamental sobre la relación entre las dimensiones del núcleo y la imagen.

When to use: Este teorema es la herramienta más fundamental en álgebra lineal a nivel universitario para determinar las dimensiones de los subespacios asociados con las transformaciones lineales.

Why it matters: Vincula el concepto de inyectividad (conectado a la nulidad) y sobreyectividad (conectado al rango) con la geometría del espacio de dominio.

Symbols

Variables

$dim$ (V) = Dimension of Domain, $rank$ (T) = Rank, $nullity$ (T) = Nullity

dim (V)

Dimension of Domain

Variable

rank (T)

Rank

Variable

nullity (T)

Nullity

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivacion de Teorema del Rango y Nulidad

Esta derivación muestra que para una transformación lineal, la suma de la dimensión de su núcleo (nulidad) y la dimensión de su imagen (rango) es igual a la dimensión de su dominio.

V y W son espacios vectoriales sobre el mismo campo F.
T: V $\to$ W es una transformación lineal.
V es un espacio vectorial de dimensión finita.

Definir Dimensiones del Núcleo y la Imagen:

Comenzamos definiendo el núcleo y la imagen de una transformación lineal, que son subespacios del dominio y codominio, respectivamente. Sus dimensiones se conocen como la nulidad y el rango de la transformación.

Let T : V \to W be a linear transformation. \n The kernel of T is Ker (T) = {v \in V ∣ T (v) = 0_{W}} . \n The image of T is Im (T) = {w \in W ∣ \exists v \in V s.t. T (v) = w} . \n We define nullity (T) = dim (Ker (T)) and rank (T) = dim (Im (T)) .

Construir una Base para el Dominio:

Comenzamos con una base para el núcleo y la extendemos para formar una base completa para todo el espacio vectorial de dominio V. Esto nos permite expresar cualquier vector en V como una combinación lineal de estos vectores base.

Let {v_{1}, \dots, v_{k}} be a basis for Ker (T), so k = nullity (T) . \n By the Basis Extension Theorem, we can extend this to a basis for V : \n B_{V} = {v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}}, where n = dim (V) .

Demostrar que las Imágenes de la Base Extendida Forman una Base para la Imagen:

Examinamos las imágenes de los vectores base que no estaban en el núcleo. Demostramos que estas imágenes abarcan todo el espacio de imagen y son linealmente independientes, formando así una base para la imagen.

Consider the set of vectors S = {T (v_{k + 1}), \dots, T (v_{n})} . \n We show S is a basis for Im (T) . \n 1. S spans Im (T) : Any w \in Im (T) is T (v) for some v \in V . \n v = c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} + c_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + c_{n} v_{n} . \n T (v) = c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{k} T (v_{k}) + c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) . \n Since v_{1}, \dots, v_{k} \in Ker (T), T (v_{i}) = 0 for i \leq k . \n So T (v) = c_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}), meaning S spans Im (T) . \n 2. S is linearly independent: Assume d_{k + 1} T (v_{k + 1}) + \dots + d_{n} T (v_{n}) = 0. \n T (d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n}) = 0. \n This implies d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n} \in Ker (T) . \n So d_{k + 1} v_{k + 1} + \dots + d_{n} v_{n} = e_{1} v_{1} + \dots + e_{k} v_{k} for some scalars e_{i} . \n e_{1} v_{1} + \dots + e_{k} v_{k} - d_{k + 1} v_{k + 1} - \dots - d_{n} v_{n} = 0. \n Since B_{V} is a basis, all coefficients must be zero, so d_{k + 1} = \dots = d_{n} = 0. \n Thus, S is linearly independent and forms a basis for Im (T) .

Concluir el Teorema de Rango-Nulidad:

Contando el número de vectores en la base para la imagen, establecemos que el rango es igual a la dimensión del dominio menos la nulidad. Reorganizar esta ecuación produce el Teorema de Rango-Nulidad.

The number of vectors in the basis S for Im (T) is n - k . \n Therefore, dim (Im (T)) = n - k . \n Substituting the definitions: rank (T) = dim (V) - nullity (T) . \n Rearranging, we get the Rank-Nullity Theorem: rank (T) + nullity (T) = dim (V) .

Result

The number of vectors in the basis S for Im (T) is n - k . \n Therefore, dim (Im (T)) = n - k . \n Substituting the definitions: rank (T) = dim (V) - nullity (T) . \n Rearranging, we get the Rank-Nullity Theorem: rank (T) + nullity (T) = dim (V) .

Source: Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler

Free formulas

Rearrangements

Solve for $dim (V)$

Despejar $dim$ (V)

x + y

Comience desde el teorema de nulidad de rango y exprese $dim$ (V) en términos de las variables abreviadas x (rango) e y (nulidad).

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagina que el 'tamaño' total (dimensión) del espacio de entrada V se divide en dos partes complementarias por la transformación lineal T: una parte que es 'aplastada' al vector cero (el espacio nulo), y otra parte que

Term

La dimensión de la imagen (rango) de la transformación lineal T. Cuantifica la 'capacidad de salida' o el número de direcciones independientes en el espacio de salida.

Representa la parte 'útil' del espacio de entrada que contribuye a salidas distintas. Un rango más alto significa que la transformación preserva más información distinta.

Term

La dimensión del núcleo (espacio nulo) de la transformación lineal T. Cuantifica la 'pérdida de información' o el número de direcciones de entrada independientes que se mapean al

Representa la parte 'colapsada' del espacio de entrada. Una nulidad más alta significa que muchas entradas distintas se mapean a la misma salida (específicamente, cero), lo que indica una pérdida de información significativa.

Term

La dimensión del espacio vectorial de dominio V. Representa el número total de componentes de entrada independientes o el 'tamaño' del espacio de entrada.

La 'capacidad' total de información de entrada disponible antes de la transformación.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta ecuación se utiliza para relacionar las dimensiones enteras de espacios vectoriales y las propiedades de mapas lineales. Los términos 'rango', 'nulidad' y 'dimensión' hacen referencia al número de vectores base en los espacios respectivos, y por lo tanto son conteos adimensionales.

Dimension note

Todas las cantidades en el Teorema Rango-Nulidad (rango, nulidad y dimensión de V) son dimensiones matemáticas, lo que significa que son conteos enteros no negativos de vectores base. No poseen unidades físicas.

One free problem

Practice Problem

Dada una transformación lineal T: ℝ³ → ℝ² donde el núcleo es una línea que pasa por el origen (dimensión 1), calcule el rango de T.

Hint: La dimensión del dominio es 3. Si la nulidad es 1, use el teorema: Rango + Nulidad = Dim(V).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de data science, when projecting high-dimensional data into a lower-dimensional space (dimensionality reduction), the Rank-Nullity theorem helps determine the amount of information preserved (rank) versus the information lost (nullity).

Study smarter

Tips

Siempre verifique que el espacio vectorial V sea de dimensión finita antes de aplicar el teorema.
Recuerde que la dimensión en el lado derecho de la ecuación es el dominio, no el codominio.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir la dimensión del codominio (W) con la dimensión del dominio (V).
Asumir que el teorema se aplica a transformaciones no lineales.

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivación muestra que para una transformación lineal, la suma de la dimensión de su núcleo (nulidad) y la dimensión de su imagen (rango) es igual a la dimensión de su dominio.

Este teorema es la herramienta más fundamental en álgebra lineal a nivel universitario para determinar las dimensiones de los subespacios asociados con las transformaciones lineales.

Vincula el concepto de inyectividad (conectado a la nulidad) y sobreyectividad (conectado al rango) con la geometría del espacio de dominio.

Confundir la dimensión del codominio (W) con la dimensión del dominio (V). Asumir que el teorema se aplica a transformaciones no lineales.

Siempre verifique que el espacio vectorial V sea de dimensión finita antes de aplicar el teorema. Recuerde que la dimensión en el lado derecho de la ecuación es el dominio, no el codominio.

References

Sources

Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right.
Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 3rd ed., 2015.
Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 5th ed., 2016.
Wikipedia: Rank-nullity theorem
Rank-nullity theorem (Wikipedia article)
Sheldon Axler Linear Algebra Done Right
Gilbert Strang Introduction to Linear Algebra
Wikipedia article 'Rank-nullity theorem'

Teorema del Rango y Nulidad

Overview

Variables

Derivation

Definir Dimensiones del Núcleo y la Imagen:

Construir una Base para el Dominio:

Demostrar que las Imágenes de la Base Extendida Forman una Base para la Imagen:

Concluir el Teorema de Rango-Nulidad:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Lagrange's Theorem

Orthogonal Projection

Gram-Schmidt Orthogonalization

Frequently Asked Questions

Sources