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Área bajo la curva

Cálculo de integral definida.

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Core idea

Overview

Esta fórmula representa el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, que proporciona un método computacional para evaluar integrales definidas. Define el área neta bajo una curva como la diferencia entre los valores de la antiderivada de la función evaluada en los límites superior e inferior de integración.

When to use: Usa esta fórmula al calcular el cambio acumulado de una función continua en un intervalo específico [a, b]. Es aplicable siempre que se pueda identificar una antiderivada F(x) para la función integrando f(x) de tal manera que F'(x) = f(x).

Why it matters: Esta relación es la base del cálculo integral, permitiendo a los científicos resolver problemas complejos en física, ingeniería y economía. Convierte el problema geométrico de encontrar áreas en un cálculo algebraico sencillo de evaluación.

Symbols

Variables

A = Area, F(b) = Upper Limit Val, F(a) = Lower Limit Val

Area
F(b)
Upper Limit Val
Variable
F(a)
Lower Limit Val
Variable

Walkthrough

Derivation

Comprensión del Área Bajo una Curva

Una integral definida da el área con signo entre una curva y el eje x sobre un intervalo.

  • f(x) es continua en [a, b].
  • Las áreas debajo del eje x contribuyen con valores negativos a la integral.
1

Escribir la Integral Definida:

Integrar de a a b para acumular el área con signo.

2

Usar el Teorema Fundamental del Cálculo:

Encontrar una antiderivada F(x), luego sustituir los límites.

Note: Si deseas el área geométrica total, divide en los cruces del eje x y usa valores absolutos.

Result

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)

Visual intuition

Graph

Graph type: polynomial

Why it behaves this way

Intuition

Imagina cortar la región bajo la curva f(x) en rectángulos verticales infinitamente delgados, cada uno con altura f(x) y ancho dx, y luego sumar las áreas de todas estas rebanadas de x=a a x=b para encontrar el área total.

Term
La cantidad neta acumulada o el cambio total de la función f(x) sobre el intervalo [a, b].
Esta es la 'cantidad' total que se ha acumulado o cambiado desde el punto de inicio 'a' hasta el punto final 'b', según lo dicta la función f(x).
Term
La tasa instantánea o el valor de la cantidad que se está acumulando en un punto específico x.
Esto representa la 'altura' de la curva en cualquier x dado, indicando cuánto se está agregando (o restando) en ese preciso momento.
Term
Un incremento infinitesimalmente pequeño a lo largo de la variable independiente x.
Este es el 'ancho' de una rebanada o intervalo infinitamente delgado sobre el cual f(x) se considera constante para fines de suma.
Term
La operación de integración definida, que realiza una suma continua de f(x) multiplicada por dx sobre el intervalo [a, b].
Es el proceso de sumar un número infinito de contribuciones infinitesimalmente pequeñas (f(x) * dx) de x=a a x=b.
Term
El cambio neto en la antiderivada F(x) desde el límite inferior 'a' hasta el límite superior 'b'.
Esta es la cantidad total acumulada en el punto final 'b' menos la cantidad total acumulada en el punto de inicio 'a', lo que da directamente el cambio total sobre el intervalo.

Signs and relationships

  • F(b) - F(a): La resta calcula el cambio neto en la cantidad acumulada F(x) entre el límite superior b y el límite inferior a. Un resultado positivo indica un aumento neto en la cantidad acumulada, mientras que un resultado negativo.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta ecuación se usa para determinar una cantidad acumulada, donde la unidad del resultado 'A' es el producto de la unidad de la función 'f(x)' y la unidad de la variable de integración 'x'.

One free problem

Practice Problem

Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria donde la antiderivada de su función de velocidad representa su posición. Si la posición al final del trayecto (Fb) es de 50 metros y la posición al inicio (Fa) es de 15 metros, calcula el desplazamiento total (A) que representa el área bajo la curva de velocidad.

Hint: Resta el valor de la antiderivada inicial del valor de la antiderivada final.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

En el caso de distance travelled given velocity graph, Area Under Curve se utiliza para calcular Area from Upper Limit Val and Lower Limit Val. El resultado importa porque ayuda a convertir una cantidad variable en un total como área, distancia, volumen, trabajo o costo.

Study smarter

Tips

  • Verifica siempre que la función sea continua en todo el intervalo [a, b].
  • Presta mucha atención a los signos al restar el valor del límite inferior del valor del límite superior.
  • Identifica la antiderivada con precisión antes de sustituir los valores límite.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Orden de la resta (F(a)-F(b)).
  • Olvidar integrar primero.

Common questions

Frequently Asked Questions

Una integral definida da el área con signo entre una curva y el eje x sobre un intervalo.

Usa esta fórmula al calcular el cambio acumulado de una función continua en un intervalo específico [a, b]. Es aplicable siempre que se pueda identificar una antiderivada F(x) para la función integrando f(x) de tal manera que F'(x) = f(x).

Esta relación es la base del cálculo integral, permitiendo a los científicos resolver problemas complejos en física, ingeniería y economía. Convierte el problema geométrico de encontrar áreas en un cálculo algebraico sencillo de evaluación.

Orden de la resta (F(a)-F(b)). Olvidar integrar primero.

En el caso de distance travelled given velocity graph, Area Under Curve se utiliza para calcular Area from Upper Limit Val and Lower Limit Val. El resultado importa porque ayuda a convertir una cantidad variable en un total como área, distancia, volumen, trabajo o costo.

Verifica siempre que la función sea continua en todo el intervalo [a, b]. Presta mucha atención a los signos al restar el valor del límite inferior del valor del límite superior. Identifica la antiderivada con precisión antes de sustituir los valores límite.

References

Sources

  1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
  2. Wikipedia: Fundamental theorem of calculus
  3. Thomas' Calculus
  4. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
  5. Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
  6. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2018). Thomas' Calculus (14th ed.). Pearson.
  7. AQA A-Level Mathematics — Pure (Integration)