Teorema de Green Calculator
Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada con una integral doble sobre la región que encierra.
Formula first
Overview
El Teorema de Green establece una conexión fundamental entre la integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y la integral doble sobre la región plana que encierra. Es esencialmente una versión bidimensional del Teorema de Stokes y se utiliza para relacionar la rotación o circulación local en un campo vectorial con el rizo neto sobre un área.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: Aplique este teorema al evaluar una integral de línea sobre una curva cerrada, suave a trozos en el plano xy donde la integral de área del rotacional es más fácil de calcular. Requiere que las funciones componentes L y M tengan derivadas parciales de primer orden continuas en toda la región acotada por la curva.
Why it matters: Es esencial para calcular el trabajo y la circulación en física y dinámica de fluidos sin necesidad de parametrizar individualmente caminos de contorno complejos. También proporciona una base matemática para usar integrales de línea para calcular el área de formas irregulares, que es el principio operativo detrás del planímetro.
Avoid these traps
Common Mistakes
- Usar para curvas abiertas.
- Signo incorrecto (orientación en sentido horario).
One free problem
Practice Problem
Evalúe la integral de línea ∮_C (y² dx + x² dy) donde C es el contorno del rectángulo definido por 0 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 3, orientado en sentido antihorario.
Hint: Convierta la integral de línea en una integral doble de la expresión (∂M/∂x − ∂L/∂y) sobre la región rectangular.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem