Newtons Gesetz der Gravitation

Core idea

Overview

Newton's Law of Gravitation beschreibt die anziehende Kraft zwischen beliebigen zwei Objekten mit Masse und legt fest, dass der Betrag dieser Kraft proportional zu den Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihren Mittelpunkten ist. Dieses Prinzip steuert die Bewegung von Himmelskörpern und erklärt die Gewichtskraft, die auf der Oberfläche eines Planeten wirkt.

When to use: Wende diese Formel an, wenn du die gravitative Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlichen Körpern analysierst, die als Punktmassen oder homogene Kugeln behandelt werden können. Sie ist das wichtigste Werkzeug zur Bestimmung von Umlaufgeschwindigkeit, Fluchtgeschwindigkeit und Oberflächengravitation in klassischen physikalischen Szenarien, in denen die Geschwindigkeiten deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegen.

Why it matters: Diese Gleichung ermöglichte es Wissenschaftlern, die Massen der Sonne und der Planeten zu berechnen und die Mechanik des Sonnensystems zu verstehen. Sie bleibt wesentlich für die Berechnung der Flugbahnen von Satelliten, Sonden und bemannten Raumfahrzeugen in der modernen Luft- und Raumfahrttechnik.

Symbols

Variables

F = Force, G = Grav. Constant, $m_{1}$ = Mass 1, $m_{2}$ = Mass 2, r = Distance

F

Force

N

G

Grav. Constant

N m^{2} / k g^{2}

m_{1}

Mass 1

kg

m_{2}

Mass 2

kg

r

Distance

m

Walkthrough

Derivation

Formel: Newtons Gravitationsgesetz (Empirisch)

Beschreibt die Anziehungskraft zwischen zwei Punktmassen und besagt, dass diese direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands ist.

Die Massen sind Punktmassen (oder homogene Kugeln, bei denen die Masse vom Zentrum aus wirkt).
Relativistische Effekte sind vernachlässigbar (schwache Gravitationsfelder und nicht-relativistische Geschwindigkeiten).

1

Formulierung der Proportionalität:

Newton beobachtete, dass die Gravitationskraft von den Massen der Objekte abhängt und mit dem Quadrat des Abstands schwächer wird.

F \propto \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

2

Einführung der Gravitationskonstante:

G ist die universelle Gravitationskonstante. Dies ergibt den Betrag der Anziehungskraft zwischen den beiden Massen.

F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

Note: In Vektorform zeigt die Kraft auf die andere Masse: $F = - \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} \hat{r}$ .

Result

F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

Source: AQA A-Level Physics — Gravitational Fields

Free formulas

Rearrangements

Solve for $G$

Newton's Law of Gravitation: Nach G umstellen

G = \frac{F r ^{2}}{m _{1} m _{2}}

Um G zum Subjekt des Newtonschen Gravitationsgesetzes zu machen, multiplizieren Sie zunächst beide Seiten mit $r^{2}$ , um den Nenner zu löschen, und dividieren Sie dann durch $m_{1} m_{2}$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $m_{1}$

Nach m1 umstellen

m_{1} = \frac{F r ^{2}}{G m _{2}}

Stellen Sie Newtons Gravitationsgesetz nach der Masse 1 ( $m_{1}$ ) um.

Difficulty: 2/5

Solve for $m_{2}$

Nach m2 umstellen

m_{2} = \frac{F r ^{2}}{G m _{1}}

Beginnen Sie mit Newtons Gravitationsgesetz. Um m2 zum Subjekt zu machen, löschen Sie $r^{2}$ und dividieren Sie dann durch Gm1.

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Newton's Law of Gravitation: Nach r umstellen

r = \frac{G m _{1} m _{2}}{F}

Ordnen Sie das Newtonsche Gravitationsgesetz neu, um nach $r$ aufzulösen, dem Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Objekte. Dazu gehört das Isolieren von $r^{2}$ und das anschließende Ziehen der Quadratwurzel.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph ist eine inverse quadratische Kurve, die sich den Achsen als Asymptoten nähert, wobei der Definitionsbereich auf r größer als Null beschränkt ist. Für einen Physikstudenten zeigt diese Form, dass die Kraft extrem stark ist, wenn der Abstand zwischen den Massen gering ist, aber schnell schwächer wird, wenn der Abstand zunimmt. Das wichtigste Merkmal ist, dass die Kurve niemals Null erreicht, was bedeutet, dass zwischen zwei Massen eine Gravitationskraft existiert, unabhängig davon, wie weit sie voneinander entfernt sind.

Graph type: inverse

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich vor, jede Masse erzeugt ein unsichtbares 'Gravitationsfeld' um sich herum, wie ein Netz der Anziehung, das andere Massen zu ihrem Zentrum zieht, wobei die Stärke des Zugs schnell abnimmt, je weiter man sich entfernt.

Term

Der Betrag der anziehenden Gravitationskraft zwischen zwei Objekten.

Dies ist die Stärke des Zugs, den ein Objekt aufgrund seiner Masse auf ein anderes ausübt. Ein größeres F bedeutet einen stärkeren Zug.

Term

Die universelle Gravitationskonstante, eine fundamentale Naturkonstante.

Diese Konstante bestimmt die Gesamtstärke der Gravitation im gesamten Universum. Es ist eine sehr kleine Zahl, was darauf hindeutet, dass die Gravitation eine relativ schwache Kraft ist, sofern die Massen nicht enorm sind.

Term

Die Masse des ersten wechselwirkenden Objekts.

Dies stellt die 'Menge an Materie' im ersten Objekt dar, die eine Quelle seines gravitativen Einflusses ist. Massereichere Objekte üben stärkere Gravitationskräfte aus und erfahren diese auch.

Term

Die Masse des zweiten wechselwirkenden Objekts.

Dies stellt die 'Menge an Materie' im zweiten Objekt dar, die eine Quelle seines gravitativen Einflusses ist. Massereichere Objekte üben stärkere Gravitationskräfte aus und erfahren diese auch.

Term

Der Abstand zwischen den Massenmittelpunkten der beiden Objekte.

Dies ist die Entfernung zwischen den Objekten. Die Gravitationskraft nimmt mit zunehmendem Abstand schnell ab.

Signs and relationships

r^2 im Nenner: Die umgekehrte quadratische Abhängigkeit bedeutet, dass die Gravitationskraft mit zunehmendem Abstand schnell schwächer wird. Dies rührt daher, dass sich der gravitative Einfluss über die Oberfläche einer Kugel verteilt, die um das Zentrum zentriert ist.

One free problem

Practice Problem

Berechne die Gravitationsanziehungskraft zwischen der Erde und dem Mond. Verwende die folgenden Werte: Die Masse der Erde beträgt 5.972 × 10²⁴ kg, die Masse des Mondes beträgt 7.348 × 10²² kg, und der durchschnittliche Abstand zwischen ihren Mittelpunkten beträgt 3.844 × 10⁸ Meter.

Hint: Multipliziere zuerst die Massen und die Gravitationskonstante und dividiere dann durch das Quadrat des Abstands.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Abschätzung der Gravitationskraft zwischen zwei Satelliten wird Newton's Law of Gravitation verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Bewegung, Energieübertragung, Wellen, Felder oder Schaltungen vorherzusagen und die Plausibilität zu prüfen.

Study smarter

Tips

Miss den Abstand 'r' immer vom Schwerpunkt der Objekte aus, nicht von ihren Oberflächen.
Stelle sicher, dass alle Massen in Kilogramm und Abstände in Metern angegeben sind, damit sie mit der Gravitationskonstanten G konsistent bleiben.
Denke daran, dass die Gravitation einem inversen Quadratgesetz folgt, sodass eine Verdopplung des Abstands die Kraft auf ein Viertel reduziert.

Avoid these traps

Common Mistakes

Vergessen, dass r quadriert wird.
km ohne Umrechnung in m verwenden.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Beschreibt die Anziehungskraft zwischen zwei Punktmassen und besagt, dass diese direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands ist.

Wende diese Formel an, wenn du die gravitative Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlichen Körpern analysierst, die als Punktmassen oder homogene Kugeln behandelt werden können. Sie ist das wichtigste Werkzeug zur Bestimmung von Umlaufgeschwindigkeit, Fluchtgeschwindigkeit und Oberflächengravitation in klassischen physikalischen Szenarien, in denen die Geschwindigkeiten deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegen.

Diese Gleichung ermöglichte es Wissenschaftlern, die Massen der Sonne und der Planeten zu berechnen und die Mechanik des Sonnensystems zu verstehen. Sie bleibt wesentlich für die Berechnung der Flugbahnen von Satelliten, Sonden und bemannten Raumfahrzeugen in der modernen Luft- und Raumfahrttechnik.

Vergessen, dass r quadriert wird. km ohne Umrechnung in m verwenden.

Im Kontext von Abschätzung der Gravitationskraft zwischen zwei Satelliten wird Newton's Law of Gravitation verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Bewegung, Energieübertragung, Wellen, Felder oder Schaltungen vorherzusagen und die Plausibilität zu prüfen.

Miss den Abstand 'r' immer vom Schwerpunkt der Objekte aus, nicht von ihren Oberflächen. Stelle sicher, dass alle Massen in Kilogramm und Abstände in Metern angegeben sind, damit sie mit der Gravitationskonstanten G konsistent bleiben. Denke daran, dass die Gravitation einem inversen Quadratgesetz folgt, sodass eine Verdopplung des Abstands die Kraft auf ein Viertel reduziert.

References

Sources

Fundamentals of Physics by Halliday, Resnick, and Walker
Wikipedia: Newton's law of universal gravitation
Britannica: Newton's law of universal gravitation
NIST CODATA (2018 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants)
Halliday, Resnick, Walker. Fundamentals of Physics. (Any recent edition, e.g., 10th or 11th edition)
Halliday, Resnick, Walker - Fundamentals of Physics
Wikipedia: General relativity
Wikipedia: Quantum gravity

Overview

Variables

Derivation

Formulierung der Proportionalität:

Einführung der Gravitationskonstante:

Rearrangements

Graph

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Newton's Law of Universal Gravitation

Escape Velocity

Gravitational Potential

Gravitational Field Strength

Frequently Asked Questions

Sources