Interner Zinsfuß (IRR) — 1 Periode | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Der einperiodige interne Zinsfuß (IRR) ist der Diskontierungssatz, der den Barwert eines zukünftigen Zahlungsmittelzuflusses den anfänglichen Investitionskosten gleichsetzt. In diesem vereinfachten Modell stellt er die annualisierte prozentuale Rendite eines Projekts dar, das genau eine Zeitperiode dauert.

When to use: Diese Formel wird auf kurzfristige Investitionen oder Investitionsrechnungs-Szenarien angewendet, bei denen ein anfänglicher Mittelabfluss zu einer einzigen Endauszahlung führt. Sie ist am effektivsten beim Vergleich einfacher, sich gegenseitig ausschließender Projekte mit identischer Laufzeit.

Why it matters: Sie liefert eine klare prozentbasierte Kennzahl, um zu beurteilen, ob die Rendite eines Projekts die Kapitalkosten übersteigt. In der Praxis dient sie als „Break-even“-Maßstab, mit dem Manager den maximalen Zinssatz bestimmen können, den ein Projekt tragen kann, während es profitabel bleibt.

Symbols

Variables

IRR = IRR, $C_{1}$ = Cash Flow Year 1, $C_{0}$ = Initial Cost

IRR

Variable

C_{1}

Cash Flow Year 1

$

C_{0}

Initial Cost

$

Walkthrough

Derivation

Verständnis des internen Zinsfußes (Internal Rate of Return - IRR)

Der IRR ist der Abzinsungssatz, bei dem der Kapitalwert (NPV) gleich Null ist. Für eine Periode ist es der Satz, der die Anschaffungskosten mit dem diskontierten Zufluss gleichsetzt.

Cashflows treten zu den angegebenen Zeitpunkten auf (C0 zum Zeitpunkt 0, C1 zum Zeitpunkt 1).
Die IRR-Entscheidungsregel nutzt eine Mindestverzinsung (z. B. Kapitalkosten) zum Vergleich.

1

Kapitalwert auf Null setzen:

Per Definition ist der IRR der Zinssatz, bei dem der Barwert der Zuflüsse dem ursprünglichen Abfluss entspricht.

0 = - C_{0} + \frac{C _{1}}{1 + I R R}

2

Nach IRR auflösen:

Umstellen ergibt den Ein-Perioden-IRR als prozentuale Rendite im Verhältnis zum ursprünglichen Aufwand.

C_{0} = \frac{C _{1}}{1 + I R R} ⟹ 1 + I R R = \frac{C _{1}}{C _{0}} ⟹ I R R = \frac{C _{1}}{C _{0}} - 1

Note: Die Vorzeichenkonvention ist wichtig: Hier wird $C_{0}$ als positive Kosten behandelt (ein Abfluss, der im NPV mit einem Minuszeichen geschrieben wird).

Result

C_{0} = \frac{C _{1}}{1 + I R R} ⟹ 1 + I R R = \frac{C _{1}}{C _{0}} ⟹ I R R = \frac{C _{1}}{C _{0}} - 1

Source: Standard curriculum — A-Level Business / Finance

Free formulas

Rearrangements

Solve for IRR

Nach IRR umstellen

I R R = \frac{C _{1}}{C _{0}} - 1

Ordnen Sie die einperiodische Formel für die interne Rendite (IRR) neu an, um sie nach IRR aufzulösen, indem Sie sie Schritt für Schritt isolieren.

Difficulty: 2/5

Solve for $C_{1}$

Nach C1 umstellen

C_{1} = C_{0} (1 + I R R)

Um C1 zum Subjekt zu machen, verschieben Sie zunächst C0 auf die andere Seite der Gleichung und multiplizieren Sie dann beide Seiten mit (1+IRR), um C1 zu isolieren.

Difficulty: 2/5

Solve for $C_{0}$

Nach C0 umstellen

C_{0} = \frac{C _{1}}{1 + I R R}

Um $C_{0}$ zum Subjekt zu machen, addieren Sie $C_{0}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Der Graph folgt einer hyperbolischen Kurve, da die Anschaffungskosten im Nenner der umgestellten Formel erscheinen, was dazu führt, dass der interne Zinsfuß sinkt, wenn die Anschaffungskosten steigen. Für einen Finanzstudenten bedeutet dies, dass geringere Anschaffungskosten eine höhere potenzielle Rendite ermöglichen, während sehr hohe Anschaffungskosten den internen Zinsfuß gegen Null drücken. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist, dass der interne Zinsfuß niemals Null erreicht, was veranschaulicht, dass die Investition selbst bei sehr hohen Anschaffungskosten eine positive, wenn auch abnehmende Rendite im Verhältnis zum zukünftigen Cashflow behält.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

Die Gleichung gleicht die Anfangsinvestition visuell mit dem Barwert künftiger Erträge aus und zeigt den Abzinsungssatz, bei dem sie sich genau aufheben.

Term

Anfänglicher Cash-Abfluss oder Investition zu Beginn der Periode.

Die Vorabkosten des Projekts.

Term

Cash-Zufluss am Ende der einzelnen Periode.

Der gesamte Geldbetrag, den man nach einer Periode vom Projekt zurückerhält.

Term

Der Abzinsungssatz, der den Kapitalwert (NPV) des Projekts zu Null macht.

Die effektive jährliche prozentuale Rendite der Investition; sie stellt die maximalen Kapitalkosten dar, die das Projekt tragen kann, um die Gewinnschwelle zu erreichen.

Term

Der Barwert des zukünftigen Cash-Zuflusses C_1.

Wie viel der zukünftige Cash-Zufluss

C_{1}

in heutigem Geld wert ist, gegeben der Abzinsungssatz IRR.

Signs and relationships

- C_0: Stellt einen anfänglichen Cash-Abfluss oder eine Investition dar, die in Kapitalwertberechnungen (NPV) herkömmlicherweise als negativer Wert behandelt wird, da sie die gesamte Liquiditätsposition verringert.
(1+IRR) im Nenner: Dieser Term diskontiert den zukünftigen Cash-Zufluss $C_{1}$ auf seinen Barwert zurück. Ein höherer IRR im Nenner führt zu einem niedrigeren Barwert für $C_{1}$ , was den Zeitwert des Geldes widerspiegelt.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Geldwerte für Cashflows müssen in der Währung konsistent sein, während der interne Zinsfuß (IRR) ein dimensionsloser Satz ist, der in Berechnungen üblicherweise als Dezimalwert verwendet und als Prozentsatz angegeben wird.

Dimension note

Der interne Zinsfuß (IRR) ist ein Verhältnis, das eine Rendite darstellt, und somit eine dimensionslose Größe. Obwohl er zur besseren Übersichtlichkeit häufig als Prozentsatz ausgedrückt wird, sollte er in Berechnungen als Dezimalzahl behandelt werden.

One free problem

Practice Problem

Ein Unternehmer investiert 5.000 in eine Produkteinführung. Genau ein Jahr später erhält er eine Auszahlung von 6.250. Berechne den internen Zinsfuß (IRR) für diese Investition.

Hint: Stelle die Formel nach IRR um: IRR = (C1 / C0) - 1.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Vergleich der Projektrendite mit dem Zinssatz eines Bankkredits wird Interner Zinsfuß (IRR) — 1 Periode verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Study smarter

Tips

Setze die Anfangskosten C0 als positiven Wert ein, da die Formel sie subtrahiert.
Wandle Prozentsätze vor der Berechnung immer in Dezimalzahlen um.
Wenn der resultierende IRR höher ist als die Hurdle Rate, gilt die Investition im Allgemeinen als tragfähig.

Avoid these traps

Common Mistakes

Mit ROI/buchhalterischer Rendite verwechseln.
Mehrere IRRs möglich (nicht in diesem einfachen Modell).

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Der IRR ist der Abzinsungssatz, bei dem der Kapitalwert (NPV) gleich Null ist. Für eine Periode ist es der Satz, der die Anschaffungskosten mit dem diskontierten Zufluss gleichsetzt.

Diese Formel wird auf kurzfristige Investitionen oder Investitionsrechnungs-Szenarien angewendet, bei denen ein anfänglicher Mittelabfluss zu einer einzigen Endauszahlung führt. Sie ist am effektivsten beim Vergleich einfacher, sich gegenseitig ausschließender Projekte mit identischer Laufzeit.

Sie liefert eine klare prozentbasierte Kennzahl, um zu beurteilen, ob die Rendite eines Projekts die Kapitalkosten übersteigt. In der Praxis dient sie als „Break-even“-Maßstab, mit dem Manager den maximalen Zinssatz bestimmen können, den ein Projekt tragen kann, während es profitabel bleibt.

Mit ROI/buchhalterischer Rendite verwechseln. Mehrere IRRs möglich (nicht in diesem einfachen Modell).

Im Kontext von Vergleich der Projektrendite mit dem Zinssatz eines Bankkredits wird Interner Zinsfuß (IRR) — 1 Periode verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Anreize, politische Wirkungen, Marktergebnisse oder Finanzentscheidungen zu vergleichen.

Setze die Anfangskosten C0 als positiven Wert ein, da die Formel sie subtrahiert. Wandle Prozentsätze vor der Berechnung immer in Dezimalzahlen um. Wenn der resultierende IRR höher ist als die Hurdle Rate, gilt die Investition im Allgemeinen als tragfähig.

Yes. Open the Interner Zinsfuß (IRR) — 1 Periode equation in the Equation Encyclopedia app, then tap "Copy Excel Template" or "Copy Sheets Template" to copy a ready-to-paste spreadsheet template. Replace the example values with your own inputs.

References

Sources

Brealey, Richard A., Myers, Stewart C., and Allen, Franklin. Principles of Corporate Finance.
Ross, Stephen A., Westerfield, Randolph W., and Jordan, Bradford D. Fundamentals of Corporate Finance.
Wikipedia: Internal rate of return
Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Ross, S. A., Westerfield, R. W., & Jordan, B. D. (2019). Fundamentals of Corporate Finance (12th ed.). McGraw-Hill Education.
Internal rate of return - Wikipedia
Brealey, Myers, and Allen Principles of Corporate Finance
Ross, Westerfield, and Jaffe Corporate Finance

Interner Zinsfuß (IRR) — 1 Periode

Overview

Variables

Derivation

Kapitalwert auf Null setzen:

Nach IRR auflösen:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Net Present Value (NPV) — 1 period

Frequently Asked Questions

Sources