Biegeformel (Biegespannung)

Core idea

Overview

Diese Formel setzt voraus, dass das Balkenmaterial linear-elastisch, isotrop und homogen ist und dass der Querschnitt bezüglich der Biegeebene symmetrisch ist. Sie verknüpft das innere Moment mit der Spannungsverteilung über die Höhe des Bauteils und zeigt, dass die Spannung linear mit dem Abstand von der neutralen Achse variiert. Das negative Vorzeichen ist eine Konvention, die anzeigt, dass ein positives Moment bei einem einfach gelagerten Balken Druck in den oberen Fasern erzeugt.

When to use: Verwende diese Formel, um die innere Normalspannung in einem Balken zu bestimmen, der reiner Biegung oder Biegung in Kombination mit anderen Lasten ausgesetzt ist.

Why it matters: Sie ist grundlegend für die strukturelle Sicherheit, da sie sicherstellt, dass die induzierte Biegespannung die Streckgrenze oder zulässige Spannung des Materials nicht überschreitet.

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

Herleitung der Biegeformel (Biegespannung)

Diese Herleitung setzt das interne Biegemoment eines Balkens zur internen Normalspannung in Beziehung, indem die geometrische Kompatibilität (lineare Dehnung) und das Materialverhalten (Hookesches Gesetz) erzwungen werden.

Der Balken ist anfänglich gerade und prismatisch.
Das Material ist linear-elastisch, homogen und isotrop.
Ebene Querschnitte bleiben nach der Biegung eben und senkrecht zur Längsachse (Bernoulli-Euler-Hypothese).
Der Balken ist reiner Biegung ausgesetzt.

1

Kinematische Beziehung (Dehnung)

Unter Annahme eines Krümmungsradius $ρ$ variiert die Längsdehnung $ϵ_{x}$ linear mit dem Abstand $y$ von der neutralen Achse.

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: Das negative Vorzeichen gibt an, dass bei positiver Biegung (nach oben konkav) Fasern oberhalb der neutralen Achse unter Druck stehen.

2

Materialgesetz (Hookesches Gesetz)

Durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes ( $σ = E ϵ$ ) drücken wir die Spannung als Funktion des Elastizitätsmoduls $E$ und der Krümmung aus.

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: Dies setzt voraus, dass sich das Material im linear-elastischen Bereich befindet.

3

Momentengleichgewicht

Das interne Moment $M$ ist das Integral des durch die Spannungsverteilung erzeugten Moments über die Querschnittsfläche $A$ .

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: Das Integral $\int y^{2} d A$ ist als Flächenträgheitsmoment $I$ definiert.

4

Beziehung zwischen Moment und Krümmung

Wir ersetzen das Integral durch $I$ , um den Krümmungsterm $1/ ρ$ in Abhängigkeit vom aufgebrachten Moment zu lösen.

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: Der Term $E I$ ist als Biegesteifigkeit des Balkens bekannt.

5

Endgültige Biegeformel

Setzen Sie den Ausdruck für die Krümmung wieder in die Spannungsgleichung ein, um die endgültige Formel zu erhalten.

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: Stellen Sie immer sicher, dass die Einheiten konsistent sind (z. B. N/mm² für MPa).

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

Nach $σ$ umstellen

σ = - \frac{M y}{I}

Die Formel wird bereits mit $σ$ als Subjekt ausgedrückt.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

Nach M umstellen

M = - \frac{σ I}{y}

Ordnen Sie die Gleichung neu an, um das Biegemoment M zu isolieren, indem Sie beide Seiten mit I multiplizieren und durch das negative y dividieren.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

Nach I umstellen

I = - \frac{M y}{σ}

Ordnen Sie neu, um das Trägheitsmoment I durch Multiplikation mit I und Division durch Sigma zu ermitteln.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich vor, Sie biegen einen dicken Radiergummi aus Gummi. Wenn Sie ihn biegen, dehnt sich die Außenseite (Zug) und die Innenseite wird zusammengedrückt (Druck). Die neutrale Achse (die Mittelebene) bleibt ungedehnt. Die Gleichung beschreibt dies als eine lineare „Rampe“ der Spannung: Je weiter man sich von der Mitte (y) entfernt, desto mehr muss sich das Material dehnen oder stauchen, um die Biegung auszugleichen, wobei die Steigung dieser Rampe durch das Moment (M) und den Widerstand der Form (I) bestimmt wird.

Term

Biegespannung

Die interne „Druck-“ oder „Zugkraft“ pro Flächeneinheit, die auf die Materialfasern an einer bestimmten Stelle wirkt.

Term

Biegemoment

Die auf den Balken ausgeübte „Verdrehkraft“; ein größeres M erzeugt einen intensiveren internen Kampf zwischen Zug und Druck.

Term

Abstand zum Schwerpunkt

Der „Hebelarm“; wie weit Sie von der Mittellinie entfernt sind, an der keine Spannung herrscht.

Term

Flächenträgheitsmoment

Die geometrische „Steifigkeit“; sie misst, wie effizient die Form das Material von der Mitte weg verteilt, um einer Biegung zu widerstehen.

Signs and relationships

Negatives Vorzeichen (-): Dies ist eine Vorzeichenkonvention: Sie stellt sicher, dass bei einem positiven Biegemoment (das eine nach oben konkave Krümmung verursacht) Punkte oberhalb der neutralen Achse (positives y) zu einer negativen Spannung (Druck) führen, während Punkte darunter (negatives y) zu einer positiven Spannung (Zug) führen.

One free problem

Practice Problem

Ein Balken hat ein Flächenträgheitsmoment I = 5000 cm^4 und ist einem Biegemoment M = 10 kN-m ausgesetzt. Berechne die Biegespannung an einem Punkt, der 10 cm von der neutralen Achse entfernt liegt.

Hint: Wandle alle Einheiten in Newton und Millimeter um, um Konsistenz zu gewährleisten (N/mm^2 = MPa).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Biegeformel (Biegespannung) wird Biegeformel (Biegespannung) verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Abmessungen, Leistung oder Sicherheitsmargen eines Entwurfs zu prüfen.

Study smarter

Tips

Stelle sicher, dass der Abstand 'y' von der Schwerpunkt-Nulllinie des Querschnitts gemessen wird.
Prüfe, dass die Einheiten von M, y und I konsistent sind, üblicherweise N, mm und mm^4.
Denke daran, dass die maximale Spannung in den äußersten Fasern auftritt, also bei maximalem 'y'.

Avoid these traps

Common Mistakes

Das falsche Flächenträgheitsmoment (I) für die jeweilige Biegeachse verwenden.
Den Abstand von der Außenfläche mit dem Abstand von der neutralen Achse verwechseln.

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Diese Herleitung setzt das interne Biegemoment eines Balkens zur internen Normalspannung in Beziehung, indem die geometrische Kompatibilität (lineare Dehnung) und das Materialverhalten (Hookesches Gesetz) erzwungen werden.

Verwende diese Formel, um die innere Normalspannung in einem Balken zu bestimmen, der reiner Biegung oder Biegung in Kombination mit anderen Lasten ausgesetzt ist.

Sie ist grundlegend für die strukturelle Sicherheit, da sie sicherstellt, dass die induzierte Biegespannung die Streckgrenze oder zulässige Spannung des Materials nicht überschreitet.

Das falsche Flächenträgheitsmoment (I) für die jeweilige Biegeachse verwenden. Den Abstand von der Außenfläche mit dem Abstand von der neutralen Achse verwechseln.

Im Kontext von Biegeformel (Biegespannung) wird Biegeformel (Biegespannung) verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, Abmessungen, Leistung oder Sicherheitsmargen eines Entwurfs zu prüfen.

Stelle sicher, dass der Abstand 'y' von der Schwerpunkt-Nulllinie des Querschnitts gemessen wird. Prüfe, dass die Einheiten von M, y und I konsistent sind, üblicherweise N, mm und mm^4. Denke daran, dass die maximale Spannung in den äußersten Fasern auftritt, also bei maximalem 'y'.

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

Kinematische Beziehung (Dehnung)

Materialgesetz (Hookesches Gesetz)

Momentengleichgewicht

Beziehung zwischen Moment und Krümmung

Endgültige Biegeformel

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Section Modulus

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