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Erster Hauptsatz der Thermodynamik (offenes System, stationäre Strömung)

Beschreibt die Energiebilanz für ein offenes System unter stationären Strömungsbedingungen.

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\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

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Core idea

Overview

Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme, auch stationäre Energiegleichung genannt, ist ein grundlegendes Prinzip, das besagt, dass Energie erhalten bleibt. Für ein stationäres Strömungssystem muss die Rate der Energiezufuhr in das System gleich der Rate der Energieabfuhr aus dem System plus der Energiespeicherrate im System sein, die im stationären Zustand null ist. Diese Gleichung berücksichtigt Wärmeübertragung, Arbeitsübertragung und die durch Massenstrom transportierte Energie einschließlich Enthalpie, kinetischer und potenzieller Energie. Für diesen Rechner wird ein einzelner Einlass und ein einzelner Auslass angenommen.

When to use: Wende diese Gleichung bei der Analyse von Geräten wie Turbinen, Verdichtern, Düsen, Diffusoren, Wärmetauschern und Pumpen an, bei denen Masse in ein Kontrollvolumen hinein- und herausströmt. Sie ist entscheidend für die Berechnung von Energieübertragungsraten, die Bestimmung unbekannter Fluideigenschaften an Ein- oder Austritten oder die Auslegung von Komponenten in Kraftwerken und Kältekreisläufen. Stelle sicher, dass sich das System im stationären Zustand befindet und alle Energieaustausche erkannt werden.

Why it matters: Dieses Gesetz ist das Fundament für die Auslegung und Analyse thermischer Systeme im Ingenieurwesen. Es ermöglicht Ingenieuren, Leistung vorherzusagen, Wirkungsgrade zu optimieren und energiebezogene Probleme in einer Vielzahl von Anwendungen zu beheben, von der Energieerzeugung über HVAC-Systeme bis zu chemischen Prozessen. Seine Beherrschung ist wesentlich für die Entwicklung nachhaltiger und effizienter Energielösungen.

Symbols

Variables

$\dot{Q}$ = Heat Transfer Rate, $\dot{W}$ = Work Transfer Rate, $\overset{m}{˙}$ = Mass Flow Rate, $h_{in}$ = Specific Enthalpy (Inlet), $h_{o u t}$ = Specific Enthalpy (Outlet)

\dot{Q}

Heat Transfer Rate

\dot{W}

Work Transfer Rate

\overset{m}{˙}

Mass Flow Rate

kg/s

h_{in}

Specific Enthalpy (Inlet)

kJ/kg

h_{o u t}

Specific Enthalpy (Outlet)

kJ/kg

V_{in}

Velocity (Inlet)

m/s

V_{o u t}

Velocity (Outlet)

m/s

g

Gravitational Acceleration

m/s²

z_{in}

Elevation (Inlet)

m

z_{o u t}

Elevation (Outlet)

m

Walkthrough

Derivation

Formel: Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Offenes System, Stationäre Strömung)

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme besagt, dass unter stationären Strömungsbedingungen die Rate der in ein Kontrollvolumen eintretenden Energie der Rate der austretenden Energie plus etwaiger Akkumulation entspricht.

Das System arbeitet unter stationären Strömungsbedingungen (Eigenschaften ändern sich an keinem Punkt mit der Zeit).
Das Kontrollvolumen ist raumfest.
Zur Vereinfachung werden nur ein Einlass und ein Auslass betrachtet, aber das Prinzip lässt sich auf mehrere Ströme erweitern.
Die Energieübertragung erfolgt über Wärme, Arbeit und Massenstrom.

Beginn mit der allgemeinen Energiebilanz:

Die Änderungsrate der Energie innerhalb des Kontrollvolumens ( $E_{C V}$ ) entspricht der Netto-Wärmeübertragungsrate hinein, minus der Netto-Rate der vom System verrichteten Arbeit, plus der Netto-Rate der durch den Massenstrom transportierten Energie.

\frac{d E _{C V}}{d t} = \dot{Q} - \dot{W} + in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Anwendung der Bedingung für stationäre Strömung:

Bei stationärer Strömung ändern sich die Eigenschaften innerhalb des Kontrollvolumens nicht mit der Zeit, sodass die Rate der Energieakkumulation Null ist.

\frac{d E _{C V}}{d t} = 0

Umformung für die Energiegleichung bei stationärer Strömung:

Setzen Sie die stationäre Bedingung in die allgemeine Energiebilanzgleichung ein.

0 = \dot{Q} - \dot{W} + in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Endform (wie dargestellt):

Formen Sie die Gleichung um, um die Netto-Wärme- und Arbeitsübertragungsterme auf einer Seite zu isolieren, was zeigt, dass sie den Netto-Energietransport durch den Massenstrom ausgleichen. Diese Form ist besonders nützlich für die Analyse technischer Geräte mit Ein- und Auslässen.

\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Result

\dot{Q} - \dot{W} = o u t \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z) - in \sum \overset{m}{˙} (h + \frac{V ^{2}}{2} + g z)

Source: Cengel, Y. A., & Boles, M. A. (2015). Thermodynamics: An Engineering Approach (8th ed.). McGraw-Hill Education.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\dot{Q}$

Nach $\dot{Q}$ umstellen

\dot{Q} = \dot{W} + \overset{m}{˙} [(h_{o u t} - h_{in}) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})]

Um $\dot{Q}$ (Wärmeübertragungsrate) zum Thema zu machen, verschieben Sie den Arbeitsübertragungsterm auf die rechte Seite der Gleichung.

Difficulty: 3/5

Solve for $\dot{W}$

Nach $\dot{W}$ umstellen

\dot{W} = \dot{Q} - \overset{m}{˙} [(h_{o u t} - h_{in}) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})]

Um $\dot{W}$ (Rate der erledigten Arbeit) zum Subjekt zu machen, ordnen Sie die Gleichung neu an, um den Arbeitsterm zu isolieren.

Difficulty: 3/5

Solve for $\overset{m}{˙}$

Nach $\overset{m}{˙}$ umstellen

\overset{m}{˙} = \frac{Q ˙ - W ˙}{( h _{o u t} - h _{in} ) + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g ( z _{o u t} - z _{in} )}

Um $\overset{m}{˙}$ (Massendurchfluss) zum Thema zu machen, dividieren Sie die Nettoenergieübertragung durch die spezifische Energieänderung pro Masseneinheit.

Difficulty: 4/5

Solve for $h_{in}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (offenes System): $h_{in}$ als Subjekt setzen

h_{in} = h_{o u t} - \frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} + \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} + g (z_{o u t} - z_{in})

Um $h_{in}$ , die spezifische Enthalpie am Einlass, zum Subjekt zu machen, isoliere den Enthalpiedifferenzterm und löse dann nach $h_{in}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $h_{o u t}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (offenes System): $h_{o u t}$ als Subjekt setzen

h_{o u t} = h_{in} + \frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2} - g (z_{o u t} - z_{in})

Um $h_{o u t}$ , die spezifische Enthalpie am Auslass, zum Subjekt zu machen, isoliere den Enthalpiedifferenzterm und löse dann nach $h_{o u t}$ .

Difficulty: 4/5

Solve for $V_{in}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Offenes System): Stellen Sie $V_{in}$ frei.

V_{in} = V_{o u t}^{2} - 2 (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - g (z_{o u t} - z_{in}))

Um $V_{in}$ (Geschwindigkeit am Einlass) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie den Term der kinetischen Energie und lösen Sie dann nach $V_{in}$ auf.

Difficulty: 4/5

Solve for $V_{o u t}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Offenes System): Stellen Sie $V_{o u t}$ frei.

V_{o u t} = V_{in}^{2} + 2 (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - g (z_{o u t} - z_{in}))

Um $V_{o u t}$ (Geschwindigkeit am Auslass) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie den Term der kinetischen Energie und lösen Sie dann nach $V_{o u t}$ auf.

Difficulty: 4/5

Solve for $g$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Offenes System): Stellen Sie $g$ frei.

g = \frac{1}{z _{o u t} - z _{in}} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

Um $g$ (Gravitationsbeschleunigung) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie den potentiellen Energieterm und lösen Sie ihn dann nach $g$ auf.

Difficulty: 4/5

Solve for $z_{in}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Offenes System): Stellen Sie $z_{in}$ frei.

z_{in} = z_{o u t} - \frac{1}{g} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

Um $z_{in}$ (Höhe am Einlass) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie den potenziellen Energieterm und lösen Sie ihn dann nach $z_{in}$ auf.

Difficulty: 4/5

Solve for $z_{o u t}$

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Offenes System): Stellen Sie $z_{o u t}$ frei.

z_{o u t} = z_{in} + \frac{1}{g} (\frac{Q ˙ - W ˙}{m ˙} - (h_{o u t} - h_{in}) - \frac{V _{o u t}^{2} - V _{in}^{2}}{2})

Um $z_{o u t}$ (Höhe am Auslass) zum Subjekt zu machen, isolieren Sie den potenziellen Energieterm und lösen Sie ihn dann nach $z_{o u t}$ auf.

Difficulty: 4/5

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Visual intuition

Graph

Der Graph zeigt eine gerade Linie, bei der die Wärmeübertragungsrate proportional mit dem Massenstrom skaliert, wobei die Steigung durch die kombinierten Differenzen in Enthalpie, kinetischer Energie und potenzieller Energie bestimmt wird. Für einen Ingenieurstudenten bedeutet diese lineare Beziehung, dass eine Erhöhung des Massenstroms eine proportionale Erhöhung der Wärmeübertragung erfordert, um die Energiebilanz aufrechtzuerhalten, wobei kleine Werte Systeme mit geringem Durchsatz und große Werte industrielle Prozesse mit hoher Kapazität darstellen. Das wichtigste Merkmal dieser Kurve ist, dass die lineare Beziehung bedeutet, dass eine Verdoppelung des Massenstroms die Wärmeübertragungsrate genau verdoppelt, sofern die Arbeitsübertragung und die Energiedifferenzen konstant bleiben.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich einen festen, imaginären Kasten (Kontrollvolumen) vor, durch den kontinuierlich Fluid fließt, während gleichzeitig Wärme und Arbeit in stetiger, unveränderlicher Weise seine Grenzen überschreiten.

Term

Rate der Wärmeübertragung in das Kontrollvolumen

Dem System zugeführte Wärme erhöht seine Gesamtenergie; entzogene Wärme verringert sie.

Term

Rate der vom Kontrollvolumen verrichteten Arbeit

Vom System verrichtete Arbeit *by* (z. B. eine Turbine) entzieht Energie; am System verrichtete Arbeit *on* (z. B. ein Kompressor) fügt sie hinzu.

Term

Massenstrom

Gibt an, wie viel Masse und damit wie viel damit verbundene Energie pro Zeiteinheit die Grenze überschreitet.

Term

Spezifische Enthalpie des Fluids

Kombiniert die innere Energie des Fluids mit der 'Verschiebearbeit' (Energie, die benötigt wird, um das Fluid über die Grenze zu drücken) und repräsentiert den Gesamtenergiegehalt pro Masseneinheit des fließenden Fluids.

Term

Spezifische kinetische Energie des Fluids

Energie pro Masseneinheit aufgrund der makroskopischen Bewegung des Fluids; schnelleres Fluid trägt mehr kinetische Energie.

Term

Spezifische potenzielle Energie des Fluids

Energie pro Masseneinheit aufgrund der Höhe des Fluids in einem Gravitationsfeld; höher gelegenes Fluid trägt mehr potenzielle Energie.

Term

Summe über alle Auslässe

Berücksichtigt die gesamte Energie, die durch alle austretenden Massenströme aus dem System abgeführt wird.

Term

Summe über alle Einlässe

Berücksichtigt die gesamte Energie, die durch alle eintretenden Massenströme in das System eingebracht wird.

Signs and relationships

-\dot{W}: Das negative Vorzeichen zeigt an, dass vom System verrichtete Arbeit *by* (z. B. eine Turbine, die Leistung erzeugt) Energie aus dem Kontrollvolumen abführt. Wenn Arbeit am System verrichtet würde *on* (z. B. ein Kompressor), wäre $\dot{W}$ negativ.
-\sum_{in} \dot{m} (h + \frac{V^2}{2} + gz): Dieser Term stellt die Rate des Energie-*entering* in das Kontrollvolumen über den Massenstrom dar. Da die rechte Seite der Gleichung den Netto-Energie-*leaving* des Systems durch den Massenstrom darstellt (Energie raus minus Energie rein), ist der entsprechenden Größe im Modell ab.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Die Gleichung bilanziert Energieuebertragungsraten (Leistung) mit der Nettoraenderung der durch Massenstroemung transportierten Energie und erfordert konsistente Einheiten fuer Leistung und massenspezifische Energie.

Dimension note

Diese Gleichung ist nicht dimensionslos; sie ist eine Leistungsbilanz (Energie/Zeit).

One free problem

Practice Problem

Eine Dampfturbine arbeitet unter stationären Strömungsbedingungen. Dampf tritt mit einer Enthalpie von 2800 kJ/kg, einer Geschwindigkeit von 50 m/s und auf einer Höhe von 10 m ein. Er tritt mit einer Enthalpie von 2600 kJ/kg, einer Geschwindigkeit von 150 m/s und auf einer Höhe von 5 m aus. Der Massenstrom beträgt 2 kg/s, und die Turbine liefert 50 kW Arbeit. Berechne die Rate der Wärmeübertragung zur oder von der Turbine.

Hint: Denke daran, die Terme für kinetische und potenzielle Energie in kJ/kg umzurechnen, indem du durch 1000 teilst.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Analyse der Leistungsabgabe einer Dampfturbine in einem Kraftwerk oder der Kälteleistung eines Verdichters in einem Kältekreislauf.

Study smarter

Tips

Achte immer auf konsistente Einheiten, zum Beispiel kJ/s für Leistung, kJ/kg für spezifische Enthalpie und m/s für Geschwindigkeit.
Definiere dein Kontrollvolumen sorgfältig und identifiziere alle Ein- und Auslässe.
Beachte die Vorzeichenkonvention für Wärme und Arbeit. Dem System zugeführte Wärme ist positiv, vom System abgegebene Arbeit ist positiv.
Vereinfache Terme, wenn Änderungen der kinetischen oder potenziellen Energie vernachlässigbar sind, etwa bei Wärmetauschern oder langsam strömenden Fluiden.

Avoid these traps

Common Mistakes

Die Vorzeichenkonventionen für Wärme und Arbeit falsch anwenden.
Nicht alle Energieformen wie Enthalpie, kinetische und potenzielle Energie berücksichtigen oder fälschlich annehmen, dass sie vernachlässigbar sind.
Einheiten vermischen, etwa kJ für Enthalpie und J für kinetische Energie ohne Umrechnung verwenden.
Die Gleichung ohne Anpassung auf instationäre Strömungssysteme anwenden.

Common questions

Frequently Asked Questions

Wende diese Gleichung bei der Analyse von Geräten wie Turbinen, Verdichtern, Düsen, Diffusoren, Wärmetauschern und Pumpen an, bei denen Masse in ein Kontrollvolumen hinein- und herausströmt. Sie ist entscheidend für die Berechnung von Energieübertragungsraten, die Bestimmung unbekannter Fluideigenschaften an Ein- oder Austritten oder die Auslegung von Komponenten in Kraftwerken und Kältekreisläufen. Stelle sicher, dass sich das System im stationären Zustand befindet und alle Energieaustausche erkannt werden.

Dieses Gesetz ist das Fundament für die Auslegung und Analyse thermischer Systeme im Ingenieurwesen. Es ermöglicht Ingenieuren, Leistung vorherzusagen, Wirkungsgrade zu optimieren und energiebezogene Probleme in einer Vielzahl von Anwendungen zu beheben, von der Energieerzeugung über HVAC-Systeme bis zu chemischen Prozessen. Seine Beherrschung ist wesentlich für die Entwicklung nachhaltiger und effizienter Energielösungen.

Die Vorzeichenkonventionen für Wärme und Arbeit falsch anwenden. Nicht alle Energieformen wie Enthalpie, kinetische und potenzielle Energie berücksichtigen oder fälschlich annehmen, dass sie vernachlässigbar sind. Einheiten vermischen, etwa kJ für Enthalpie und J für kinetische Energie ohne Umrechnung verwenden. Die Gleichung ohne Anpassung auf instationäre Strömungssysteme anwenden.

Analyse der Leistungsabgabe einer Dampfturbine in einem Kraftwerk oder der Kälteleistung eines Verdichters in einem Kältekreislauf.

Achte immer auf konsistente Einheiten, zum Beispiel kJ/s für Leistung, kJ/kg für spezifische Enthalpie und m/s für Geschwindigkeit. Definiere dein Kontrollvolumen sorgfältig und identifiziere alle Ein- und Auslässe. Beachte die Vorzeichenkonvention für Wärme und Arbeit. Dem System zugeführte Wärme ist positiv, vom System abgegebene Arbeit ist positiv. Vereinfache Terme, wenn Änderungen der kinetischen oder potenziellen Energie vernachlässigbar sind, etwa bei Wärmetauschern oder langsam strömenden Fluiden.

References

Sources

Fundamentals of Heat and Mass Transfer by Incropera, DeWitt, Bergman, Lavine, 7th Edition
Thermodynamics: An Engineering Approach by Yunus A. Cengel and Michael A. Boles, 8th Edition
Transport Phenomena by R. Byron Bird, Warren E. Stewart, and Edwin N. Lightfoot, 2nd Edition
Wikipedia: First law of thermodynamics
Moran & Shapiro, Fundamentals of Engineering Thermodynamics
Cengel & Boles, Thermodynamics: An Engineering Approach
NIST CODATA
Cengel and Boles Thermodynamics: An Engineering Approach

Erster Hauptsatz der Thermodynamik (offenes System, stationäre Strömung)

Overview

Variables

Derivation

Beginn mit der allgemeinen Energiebilanz:

Anwendung der Bedingung für stationäre Strömung:

Umformung für die Energiegleichung bei stationärer Strömung:

Endform (wie dargestellt):

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

First Law of Thermodynamics (Closed System)

Bernoulli's Equation

Continuity Equation

Frequently Asked Questions

Sources