Kettenregel

Core idea

Overview

Die Kettenregel ist eine grundlegende Formel der Analysis, mit der die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion bestimmt wird. Sie besagt, dass die Ableitung einer verschachtelten Funktion das Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion ist.

When to use: Wende diese Regel an, wenn du eine Funktion ableiten musst, die aus anderen Funktionen zusammengesetzt ist, also oft als Funktion in einer Funktion beschrieben wird. Sie ist notwendig für Ausdrücke mit Potenzen von Polynomen, trigonometrischen Funktionen mit komplexen Argumenten oder Exponentialfunktionen, bei denen der Exponent selbst eine Funktion ist.

Why it matters: Diese Regel ist die Grundlage vieler fortgeschrittener mathematischer Konzepte, darunter der Backpropagation-Algorithmus zum Trainieren neuronaler Netze in der künstlichen Intelligenz. In Physik und Ingenieurwesen ermöglicht sie die Analyse zusammenhängender Änderungsraten, etwa wie sich das Volumen einer Kugel mit der Zeit ändert, wenn ihr Radius wächst.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Total Derivative, $\frac{d y}{d u}$ = Outer Derivative, $\frac{d u}{d x}$ = Inner Derivative

\frac{d y}{d x}

Total Derivative

Variable

\frac{d y}{d u}

Outer Derivative

Variable

\frac{d u}{d x}

Inner Derivative

Variable

Walkthrough

Derivation

Verständnis der Kettenregel

Die Kettenregel differenziert eine zusammengesetzte Funktion, indem die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.

y hängt von u ab und u hängt von x ab.
Beide Funktionen sind differenzierbar.

1

Führe eine Zwischenvariable ein:

Stelle die innere Funktion als u dar, um die Zusammensetzung in zwei Schritte aufzuteilen.

y = f (g (x)), let u = g (x) ⟹ y = f (u)

2

Formuliere die Kettenregel:

Differenziere die äußere Funktion nach u und multipliziere sie dann mit der Ableitung von u nach x.

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Note: Eine nützliche Intuition ist, dass Änderungen in x die Variable u beeinflussen, welche wiederum y beeinflusst, sodass sich die Gesamtrate multipliziert.

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\frac{d y}{d u}$

Nach dydu umstellen

d y d u = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

Stelle die Gleichung nach dydu um.

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

Nach dudx umstellen

d u d x = \frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d u}}

Stelle die Gleichung nach dudx um.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Stellen Sie sich eine Kette von Ereignissen vor, bei der eine kleine Änderung von „x“ zunächst eine skalierte Änderung von „u“ verursacht und diese Änderung von „u“ dann eine weitere skalierte Änderung von „y“ verursacht; Die Gesamtänderung von „y“ relativ zu „x“ ist das Produkt dieser lokalen Empfindlichkeiten.

Term

Die momentane Rate, mit der sich die Ausgabevariable „y“ in Bezug auf eine Änderung in der unabhängigen Variablen „x“ ändert.

Wie empfindlich „y“ direkt auf Änderungen in „x“ reagiert, was die Gesamtänderungsrate darstellt.

Term

Die momentane Rate, mit der sich die Ausgabe „y“ der äußeren Funktion in Bezug auf eine Änderung in ihrer unmittelbaren Eingabe ändert 'u'.

Wie empfindlich die 'äußere Schicht' der Funktion auf Änderungen dessen reagiert, was sie direkt als Eingabe empfängt.

Term

Die momentane Rate, mit der sich die Ausgabe 'u' der Zwischenfunktion in Bezug auf eine Änderung ihrer Eingabe 'x' ändert.

Wie empfindlich die 'innere Schicht' der Funktion auf Änderungen ihrer eigenen Eingabe 'x' reagiert.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Wird verwendet, um bei der Berechnung von Ableitungen zusammengesetzter Funktionen die dimensionale Konsistenz sicherzustellen; die Einheiten der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit den Einheiten der Ableitung der inneren Funktion müssen

One free problem

Practice Problem

In einer Analysisaufgabe mit einer zusammengesetzten Funktion bestimmst du, dass die Ableitung der äußeren Funktion nach ihrer inneren Variablen 5 beträgt und die Ableitung dieser inneren Variablen nach x 4 ist. Berechne die gesamte Ableitung dy/dx.

Hint: Die Kettenregel besagt, dass die gesamte Ableitung das Produkt aus der äußeren und der inneren Ableitung ist.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Im Kontext von Reaktionsgeschwindigkeit abhängig von der Temperatur, die wiederum von der Zeit abhängt wird Kettenregel verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Study smarter

Tips

Bestimme die 'innere' Funktion (u) und die 'äußere' Funktion (y) klar, bevor du beginnst.
Leite die äußere Schicht ab, während du die innere unverändert lässt, und multipliziere dann mit der Ableitung der inneren Funktion.
Arbeite bei verschachtelten zusammengesetzten Funktionen systematisch von der äußersten zur innersten Schicht.

Avoid these traps

Common Mistakes

Die innere Ableitung vergessen.
Addieren statt multiplizieren.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Die Kettenregel differenziert eine zusammengesetzte Funktion, indem die Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.

Wende diese Regel an, wenn du eine Funktion ableiten musst, die aus anderen Funktionen zusammengesetzt ist, also oft als Funktion in einer Funktion beschrieben wird. Sie ist notwendig für Ausdrücke mit Potenzen von Polynomen, trigonometrischen Funktionen mit komplexen Argumenten oder Exponentialfunktionen, bei denen der Exponent selbst eine Funktion ist.

Diese Regel ist die Grundlage vieler fortgeschrittener mathematischer Konzepte, darunter der Backpropagation-Algorithmus zum Trainieren neuronaler Netze in der künstlichen Intelligenz. In Physik und Ingenieurwesen ermöglicht sie die Analyse zusammenhängender Änderungsraten, etwa wie sich das Volumen einer Kugel mit der Zeit ändert, wenn ihr Radius wächst.

Die innere Ableitung vergessen. Addieren statt multiplizieren.

Im Kontext von Reaktionsgeschwindigkeit abhängig von der Temperatur, die wiederum von der Zeit abhängt wird Kettenregel verwendet, um Messwerte in einen interpretierbaren Wert zu übersetzen. Das Ergebnis ist wichtig, weil es hilft, die Rechnung mit Form, Änderungsrate, Wahrscheinlichkeit oder Einschränkung im Modell zu verbinden.

Bestimme die 'innere' Funktion (u) und die 'äußere' Funktion (y) klar, bevor du beginnst. Leite die äußere Schicht ab, während du die innere unverändert lässt, und multipliziere dann mit der Ableitung der inneren Funktion. Arbeite bei verschachtelten zusammengesetzten Funktionen systematisch von der äußersten zur innersten Schicht.

References

Sources

Wikipedia: Chain rule
Calculus (8th ed.) by James Stewart
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Thomas' Calculus, 14th Edition, George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass
Calculus, 8th Edition, James Stewart
AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Führe eine Zwischenvariable ein:

Formuliere die Kettenregel:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Integration by Substitution

Frequently Asked Questions

Sources