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Cayley-Hamilton-Theorem Calculator

Besagt, dass jede quadratische Matrix ihre eigene charakteristische Gleichung erfüllt.

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Result
Ready
k

Formula first

Overview

Das Cayley-Hamilton-Theorem besagt, dass jede quadratische Matrix ihre eigene charakteristische Gleichung erfüllt, was bedeutet, dass, wenn p(λ) das charakteristische Polynom der Matrix A ist, dann p(A) die Nullmatrix ergibt. Dieses grundlegende Resultat schlägt eine Brücke zwischen Matrixalgebra und Polynomtheorie und liefert ein mächtiges Werkzeug für die Matrixanalyse.

Apply it well

When To Use

When to use: Wende dieses Theorem an, wenn du hohe Potenzen einer Matrix berechnen oder die Inverse einer regulären Matrix ohne Zeilenumformung finden willst. Es wird auch verwendet, um matrixwertige Funktionen zu vereinfachen und das Minimalpolynom eines linearen Operators zu bestimmen.

Why it matters: Es reduziert die rechnerische Komplexität in Bereichen wie Regelungstechnik und Signalverarbeitung drastisch, indem Matrixpotenzierung in lineare Kombinationen niedrigerer Potenzen umgewandelt wird. Es ist ein Grundpfeiler der Jordanschen Normalform und anderer struktureller Zerlegungen in der linearen Algebra.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Das Theorem auf nicht-quadratische Matrizen anzuwenden.
  • Zu vergessen, den konstanten Term mit der Einheitsmatrix zu multiplizieren, wenn p(A) ausgewertet wird.

One free problem

Practice Problem

Gegeben ist eine 2×2-Matrix A mit den Diagonalelementen m11 = 5 und m22 = 3. Das Cayley-Hamilton-Theorem besagt, dass A die Gleichung A² - kA + dI = 0 erfüllt. Bestimme den Wert von k, der der Spur der Matrix entspricht.

Hint: Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente und erscheint als negatives Vorzeichen des λ-Terms im charakteristischen Polynom.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Wikipedia: Cayley-Hamilton theorem
  2. Linear Algebra and Its Applications (5th ed.) by David C. Lay
  3. Introduction to Linear Algebra (5th ed.) by Gilbert Strang
  4. Linear Algebra and Its Applications by David C. Lay
  5. Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang
  6. Linear Algebra and Its Applications, David C. Lay