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Bogenlänge (parametrisch) Calculator

Berechne die Länge einer parametrischen Kurve.

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Result
Ready
Arc length

Formula first

Overview

Die Formel für die parametrische Bogenlänge berechnet die gesamte Entfernung entlang eines Weges, bei dem die Koordinaten als separate Funktionen eines gemeinsamen Parameters, meist der Zeit, definiert sind. Sie summiert infinitesimale Streckenabschnitte der Kurve, indem sie den Betrag des Geschwindigkeitsvektors über das angegebene Intervall integriert.

Symbols

Variables

R = Radius / speed, a = Start parameter a, b = End parameter b, L = Arc length

Radius / speed
Variable
Start parameter a
rad
End parameter b
rad
Arc length
Variable

Apply it well

When To Use

When to use: Wende diese Formel an, wenn eine Kurve durch x(t) und y(t) statt durch eine direkte Beziehung zwischen x und y definiert ist. Voraussetzung ist, dass die Ableitungen dieser Funktionen stetig sind und der Weg im Integrationsintervall nicht erneut durchlaufen wird.

Why it matters: Dies ist ein grundlegendes Werkzeug in der Physik zur Berechnung der insgesamt zurückgelegten Strecke von bewegten Objekten wie Satelliten oder Projektilen. In der Fertigung hilft es, die exakte Materiallänge zu bestimmen, die zur Herstellung gekrümmter Bauteile in technischen Entwürfen benötigt wird.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • Die Quadratwurzel vergessen.
  • x(t) statt der Ableitungen integrieren.

One free problem

Practice Problem

Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Kreisbahn, die durch x = 5 cos(t) und y = 5 sin(t) definiert ist. Berechne die gesamte zurückgelegte Strecke des Teilchens, wenn der Parameter t von 0 bis 2π läuft.

Hint: Die Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Ableitungen vereinfacht sich zum Radius des Kreises.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
  2. Thomas, George B. Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
  3. Wikipedia: Arc length
  4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015.
  5. Halliday, David, Robert Resnick, and Jearl Walker. Fundamentals of Physics. 11th ed. Wiley, 2018.
  6. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
  7. Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. 14th ed., Pearson, 2018.
  8. Edexcel Further Mathematics — Core Pure (Calculus)