الطاقة الحركية (الدورانية) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

تمثل الطاقة الحركية الدورانية الطاقة التي يمتلكها جسم بسبب دورانه حول محور ثابت. إنها المكافئ الزاوي للطاقة الحركية الانتقالية، حيث يحل عزم القصور الذاتي محل الكتلة وتحل السرعة الزاوية محل السرعة الخطية.

When to use: تطبق هذه المعادلة عند حساب طاقة الأجسام الدوارة مثل الحذافات أو التوربينات أو الكواكب الدوارة. تفترض أن الجسم جسم صلب ويدور حول محور ثابت أو محور يمر عبر مركز كتلته.

Why it matters: هذا المبدأ بالغ الأهمية لتصميم أنظمة تخزين الطاقة، وفهم ديناميكيات المركبات، وهندسة الآلات الصناعية. يفسر كيفية تخزين الطاقة في الأنظمة الميكانيكية ولماذا يؤثر توزيع الكتلة على مدى سهولة بدء الجسم في الدوران أو إيقافه.

Symbols

Variables

I = Moment of Inertia, $ω$ = Angular Velocity, E = Kinetic Energy

I

Moment of Inertia

k g \cdot m^{2}

ω

Angular Velocity

rad/s

E

Kinetic Energy

J

Walkthrough

Derivation

اشتقاق: الطاقة الحركية الدورانية

الطاقة الحركية المخزنة في جسم دوار، مماثلة للطاقة الحركية الخطية ولكن باستخدام عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية.

I = عزم القصور الذاتي (كجم م²); ω = السرعة الزاوية (راديان ث⁻¹).
يدور الجسم حول محور ثابت.

1

الطاقة الحركية الخطية لكتلة نقطية:

ابدأ بالصيغة المألوفة للطاقة الحركية الانتقالية.

K E = \frac{1}{2} m v^{2}

2

استبدال v بـ ω باستخدام v = rω:

بالنسبة لجسم عند نصف القطر r يدور بسرعة ω، فإن سرعته الخطية هي v = rω.

K E = \frac{1}{2} m (r ω)^{2} = \frac{1}{2} m r^{2} ω^{2}

3

الجمع على جميع الجسيمات - تعريف عزم القصور الذاتي:

مجموع mr² لجميع الجسيمات يعطي عزم القصور الذاتي I. الطاقة الحركية الدورانية الكلية هي ½Iω².

I = \sum m_{i} r_{i}^{2} ⟹ K E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2}

Result

I = \sum m_{i} r_{i}^{2} ⟹ K E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2}

Source: GCSE Engineering — Energy Systems

Free formulas

Rearrangements

Solve for $E$

اجعل E موضوع المعادلة

0.5 I ω^{2}

ابدأ بصيغة الطاقة الحركية الدورانية. لجعل E هو الموضوع، قم بتبسيط التعبير عن طريق تحويل المعامل الكسري إلى عدد عشري.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Graph type: parabolic

Why it behaves this way

Intuition

تخيل جسمًا يتكون من عدد لا يحصى من الجسيمات الصغيرة، كل منها يدور حول محور مركزي. الطاقة الحركية الدورانية هي مجموع الطاقات الحركية الانتقالية لكل هذه الجسيمات الفردية.

Term

الطاقة التي يمتلكها جسم ما بسبب دورانه.

هذا يمثل طاقة 'الحركة المخزنة' لجسم دوار. قيمة أعلى تعني أن الجسم يدور بقوة أكبر ويمكنه أداء عمل أكبر إذا تم إيقافه.

Term

عزم القصور الذاتي، مقياس لمقاومة الجسم للتغيرات في حركته الدورانية. يعتمد على كتلة الجسم وكيفية توزيع هذه الكتلة بالنسبة للمحور

هذا هو المكافئ الدوراني للكتلة. كلما زاد عزم القصور الذاتي، كان من الصعب بدء أو إيقاف دوران الجسم، وكلما زادت الطاقة الحركية الدورانية التي يخزنها لسرعة زاوية معينة.

Term

السرعة الزاوية، معدل دوران الجسم أو دورانه حول محور، مقاسًا بالراديان لكل ثانية.

هذا يصف مدى سرعة دوران الجسم. سرعة زاوية أعلى تعني أن الجسم يكمل المزيد من الدورات لكل وحدة زمنية، مما يساهم بشكل كبير في طاقته المخزنة.

Signs and relationships

ω^2: تزداد الطاقة الحركية بشكل تربيعي مع السرعة الزاوية. هذا يعني أنه إذا قمت بمضاعفة السرعة الزاوية، فإن الطاقة الحركية الدورانية تزداد بمعامل أربعة.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تُستخدم هذه المعادلة عادةً لحساب طاقة الحركة الدورانية بالجول (J) عندما يُعبر عن عزم القصور الذاتي بـ كيلوغرام متر مربع (kg m2) والسرعة الزاوية بـ راديان في الثانية (rad/s).

One free problem

Practice Problem

حذافة ثقيلة تستخدم لتخزين الطاقة الصناعية لها عزم قصور ذاتي يبلغ 5 كجم·م² وتدور بسرعة زاوية تبلغ 10 راديان/ث. احسب الطاقة الحركية الدورانية المخزنة في الحذافة.

Hint: ادخل القيم مباشرة في الصيغة E = 0.5 ×I ×ω².

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق حذافة دوارة تخزن الطاقة في نظام KERS، تُستخدم معادلة الطاقة الحركية (الدورانية) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

Study smarter

Tips

حول دائمًا السرعة الزاوية من دورة في الدقيقة إلى راديان في الثانية قبل الحساب.
تأكد من حساب عزم القصور الذاتي للمحور المحدد للدوران المستخدم.
بالنسبة لجسم يتدحرج، تذكر إضافة الطاقة الحركية الدورانية إلى الطاقة الحركية الانتقالية للحصول على الطاقة الكلية.

Avoid these traps

Common Mistakes

استخدام درجة/ثانية بدلاً من راديان/ثانية.
تحويل الوحدات والمقاييس قبل التعويض، خاصة عندما تخلط المدخلات kg·m², rad/s, J.
فسّر الإجابة مع وحدتها وسياقها؛ فالنسبة المئوية والمعدل والنسبة والكمية الفيزيائية لا تعني الشيء نفسه.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

الطاقة الحركية المخزنة في جسم دوار، مماثلة للطاقة الحركية الخطية ولكن باستخدام عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية.

تطبق هذه المعادلة عند حساب طاقة الأجسام الدوارة مثل الحذافات أو التوربينات أو الكواكب الدوارة. تفترض أن الجسم جسم صلب ويدور حول محور ثابت أو محور يمر عبر مركز كتلته.

هذا المبدأ بالغ الأهمية لتصميم أنظمة تخزين الطاقة، وفهم ديناميكيات المركبات، وهندسة الآلات الصناعية. يفسر كيفية تخزين الطاقة في الأنظمة الميكانيكية ولماذا يؤثر توزيع الكتلة على مدى سهولة بدء الجسم في الدوران أو إيقافه.

استخدام درجة/ثانية بدلاً من راديان/ثانية. تحويل الوحدات والمقاييس قبل التعويض، خاصة عندما تخلط المدخلات kg·m², rad/s, J. فسّر الإجابة مع وحدتها وسياقها؛ فالنسبة المئوية والمعدل والنسبة والكمية الفيزيائية لا تعني الشيء نفسه.

في سياق حذافة دوارة تخزن الطاقة في نظام KERS، تُستخدم معادلة الطاقة الحركية (الدورانية) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على فحص أبعاد التصميم أو الأداء أو هامش الأمان قبل الاعتماد على النتيجة.

حول دائمًا السرعة الزاوية من دورة في الدقيقة إلى راديان في الثانية قبل الحساب. تأكد من حساب عزم القصور الذاتي للمحور المحدد للدوران المستخدم. بالنسبة لجسم يتدحرج، تذكر إضافة الطاقة الحركية الدورانية إلى الطاقة الحركية الانتقالية للحصول على الطاقة الكلية.

References

Sources

Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Wikipedia: Rotational kinetic energy
Bird, Stewart, Lightfoot, Transport Phenomena
NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI)
IUPAC Gold Book: 'radian'
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2014). Fundamentals of Physics (10th ed.). John Wiley & Sons.
Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Halliday, Resnick, and Walker Fundamentals of Physics